ชุดที่ 9 ตรีโกณมิติและการประยุกต์

ชุดนี้ครอบคลุมสาระจำนวนและพีชคณิต เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ (รายวิชาเพิ่มเติม ม.5) และสาระการวัดและเรขาคณิต เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติและการประยุกต์ (ม.3) ได้แก่ อัตราส่วนตรีโกณมิติ มุมเงย–มุมก้ม วงกลมหนึ่งหน่วยและเรเดียน กราฟและแบบจำลองเชิงคาบ เอกลักษณ์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สมการตรีโกณมิติ กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. อัตราส่วนตรีโกณมิติและมุมเงย–มุมก้ม

• ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก: sin θ = ด้านตรงข้ามมุม ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cos θ = ด้านประชิดมุม ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก, tan θ = ด้านตรงข้ามมุม ÷ ด้านประชิดมุม
• ค่ามุมพิเศษ: sin 30°=½, sin 45°=√2/2, sin 60°=√3/2; cos เรียงกลับกัน; tan 30°=√3/3, tan 45°=1, tan 60°=√3
• มุมประกอบมุมฉาก: sin(90°−A)=cos A, tan(90°−A)=cot A
• มุมเงย/มุมก้มวัดจากแนวระดับเสมอ มุมก้มจากจุดสูงเท่ากับมุมเงยจากจุดต่ำ (มุมแย้ง) อย่าลืมบวกความสูงระดับสายตา
• มุมเงย 30° และ 60° จากสองจุดบนแนวเดียวกัน: ระยะระหว่างสองจุดเท่ากับระยะจากจุดใกล้ถึงยอด (สามเหลี่ยมหน้าจั่ว)

2. เรเดียน วงกลมหนึ่งหน่วย และมุมใด ๆ

• π เรเดียน =180°; 1 เรเดียน ≈57.3°
• ความยาวส่วนโค้ง s=rθ พื้นที่เซกเตอร์ A=½r²θ=½rs (θ ต้องเป็นเรเดียน)
• จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ปลายส่วนโค้งยาว θ คือ (cos θ,sin θ); tan θ=ʸ⁄ₓ
• เครื่องหมาย: จตุภาค 1 ทุกตัวบวก, จตุภาค 2 sin บวก, จตุภาค 3 tan บวก, จตุภาค 4 cos บวก
• มุมอ้างอิงวัดจากแกน X; π±θ, 2π−θ คงชื่อฟังก์ชัน ส่วน π/2±θ, (3π)/2±θ เปลี่ยน sin↔cos
• cos(−θ)=cos θ (คู่) แต่ sin(−θ)=−sin θ, tan(−θ)=−tan θ (คี่)

3. กราฟและแบบจำลองเชิงคาบ

• y=A sin(Bx−C)+D: แอมพลิจูด |A|, คาบ (2π)/|B|, เลื่อนตามแกน X เท่ากับ C/B (ดึง B ออกก่อน), เส้นกึ่งกลาง y=D, เรนจ์ [D−|A|, D+|A|]
• tan Bx มีคาบ π/|B|; |sin x| และ sin²x มีคาบ π; ผลบวกฟังก์ชันคาบใช้ ค.ร.น. ของคาบ
• อ่านสมการจากกราฟ: D=(max +min)/2, |A|=(max −min)/2, จุดสูงสุดถึงจุดต่ำสุดถัดไป = ครึ่งคาบ
• แบบจำลอง: น้ำขึ้นน้ำลง h(t)=D+A sin(Bt); ชิงช้าสวรรค์เริ่มจุดต่ำสุดใช้ h(t)=D−r cos(Bt)

4. เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• sin²x+cos²x=1, 1+tan²x=sec²x, 1+cot²x=csc²x
• sin(A±B)=sin A cos B±cos A sin B; cos(A±B)=cos A cos B∓sin A sin B
• sin 2A=2 sin A cos A; cos 2A=cos²A−sin²A=2 cos²A−1=1−2 sin²A
• มุมครึ่ง: sin²A/2=(1−cos A)/2, cos²A/2=(1+cos A)/2 เลือกเครื่องหมายจากจตุภาคของ A/2
• ผลบวก→ผลคูณ: sin A+sin B=2 sin(A+B)/2 cos(A−B)/2, cos A−cos B=−2 sin(A+B)/2 sin(A−B)/2
• a sin x+b cos x=R sin(x+α), R=√(a²+b²) ค่าสูงสุด/ต่ำสุดคือ ±R (ถ้าโดเมนถูกจำกัดต้องดูช่วงของ x+α)

5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

• arcsin :[−1,1]→[−π/2,π/2], arccos :[−1,1]→[0,π], arctan :ℝ→(−π/2,π/2)
• sin⁻¹x หมายถึง arcsin x ไม่ใช่ 1/(sin x)=csc x
• arccos(−x)=π−arccos x; arcsin x+arccos x=π/2; arcsin(sin x)=x เฉพาะ x∈[−π/2,π/2]
• หาค่าเช่น sin(arccos³⁄₅): ให้ α=arccos³⁄₅ วาดสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้ sin α=⁴⁄₅

6. สมการตรีโกณมิติ

• คำตอบทั่วไป: sin x=sin α⇒x=nπ+(−1)ⁿα; cos x=cos α⇒x=2nπ±α; tan x=tan α⇒x=nπ+α
• สมการ cos kx=c ต้องหาร 2nπ ด้วย k ด้วย
• เปลี่ยนเป็นฟังก์ชันเดียวแล้วแยกตัวประกอบ ห้ามหารด้วย sin x หรือ cos x เพราะคำตอบจะหาย
• ถ้ายกกำลังสอง ต้องแทนคำตอบกลับในสมการเดิมทุกค่า (อาจเกิดคำตอบเกิน)

7. กฎของไซน์ กฎของโคไซน์ และพื้นที่

• กฎของไซน์: a/(sin A)=b/(sin B)=c/(sin C) ใช้กับ AAS, ASA, SSA
• กฎของโคไซน์: a²=b²+c²−2bc cos A ใช้กับ SAS, SSS
• พื้นที่ =½ab sin C
• กรณีกำกวม (SSA, A แหลม): a<b sin A ไม่มีรูป, a=b sin A หรือ a≥b มี 1 รูป, b sin A<a<b มี 2 รูป
• โจทย์ทิศ: วาดแนวเหนือ–ใต้ที่ทุกจุดเลี้ยว ใช้มุมแย้งหามุมภายใน

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ตรวจโหมด DEG/RAD ของเครื่องคิดเลข และใช้ θ เป็นเรเดียนในสูตร s=rθ
• sin 2x≠2 sin x, sin(A+B)≠sin A+sin B, sin⁻¹x≠1/(sin x)
• หาจตุภาคก่อนถอดรากที่สองเสมอ และมุมอ้างอิงวัดจากแกน X
• แอมพลิจูดเป็นบวกเสมอ อ่านการเลื่อนเฟสจากรูป B(x−h)
• ตรวจข้อเลือกตอบเรื่องเอกลักษณ์ได้เร็วโดยแทนมุมพิเศษ เช่น π/6, π/3
• ในรูปสามเหลี่ยม มุมใหญ่อยู่ตรงข้ามด้านยาว ใช้ตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบ