ชุดที่ 6 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดนี้ครอบคลุมสาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 1.2 (เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้) ในส่วนความสัมพันธ์และฟังก์ชันระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ได้แก่ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน โดเมน–เรนจ์ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ กราฟของความสัมพันธ์ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง การนับจำนวนฟังก์ชัน ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเชิงเส้น กำลังสอง ค่าสัมบูรณ์ ขั้นบันได ฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง ฟังก์ชันคู่/คี่ การเลื่อนขนาน การสะท้อน การยืดหดกราฟ ฟังก์ชันเพิ่ม/ลด และการประยุกต์ในชีวิตจริง

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. คู่อันดับ ผลคูณคาร์ทีเซียน และความสัมพันธ์

• (a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d (ลำดับมีความหมาย (1,2)≠(2,1))
• A×B={(a,b)|a∈A, b∈B} ได้ n(A×B)=n(A) n(B) และโดยทั่วไป A×B≠B×A
• ความสัมพันธ์จาก A ไป B คือสับเซตของ A×B จึงมีทั้งหมด 2^(n(A)n(B)) ความสัมพันธ์
• Dᵣ = เซตของสมาชิกตัวหน้า, Rᵣ = เซตของสมาชิกตัวหลัง; หา Dᵣ ให้จัดรูป y ในเทอม x แล้วดูว่า x ใดทำให้ y เป็นจำนวนจริง หา Rᵣ ให้จัดรูป x ในเทอม y
• ตัวผกผัน r⁻¹={(y,x)|(x,y)∈r} สลับ x กับ y ได้ D_(r⁻¹)=Rᵣ และ R_(r⁻¹)=Dᵣ กราฟของ r⁻¹ สะท้อนกราฟของ r ด้วยเส้น y=x
• กราฟอสมการสองตัวแปร: วาดเส้นขอบก่อน (เส้นทึบเมื่อมีเครื่องหมาย ≤,≥) แล้วทดสอบจุด เช่น (0,0) ว่าอยู่ด้านใด

2. ฟังก์ชัน

• f เป็นฟังก์ชัน เมื่อ (x,y₁)∈f และ (x,y₂)∈f แล้ว y₁=y₂ (สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำ) — ทดสอบกราฟด้วย เส้นตรงแนวดิ่ง ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด
• โดเมนของฟังก์ชันพีชคณิต: ตัวส่วน ≠0, ใต้กรณฑ์ที่สอง ≥0 (ถ้าอยู่ที่ตัวส่วนต้อง >0)
• เรนจ์: ใช้จุดยอดของพาราโบลา, |u|≥0, √u≥0, หรือแก้หา x ในรูป y แล้วดูเงื่อนไขของ y เช่น y=(ax+b)/(cx+d) มีเรนจ์ ℝ−{a/c}
• หนึ่งต่อหนึ่ง (1–1): f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂ — ทดสอบด้วย เส้นตรงแนวนอน ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด
• ทั่วถึง: f:A→B ทั่วถึง เมื่อ R_f=B
• จำนวนฟังก์ชันจาก A ไป B เมื่อ n(A)=m, n(B)=n: ทั้งหมด nᵐ, หนึ่งต่อหนึ่ง (n!)/((n−m)!) (เมื่อ m≤n), ทั่วถึง (ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก) เช่น จาก 4 ตัวไปทั่วถึง 3 ตัว =3⁴−C(3,1)2⁴+C(3,2)1⁴=36

3. ฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน

• (g∘f)(x)=g(f(x)) — ทำ f ก่อน แล้วจึงทำ g; นิยามได้เมื่อ R_f∩D_g≠∅; D_(g∘f)={x∈D_f|f(x)∈D_g}
• โดยทั่วไป f∘g≠g∘f
• หา f จาก f(g(x)): ให้ u=g(x) แล้วเขียน x ในรูป u
• f⁻¹ เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง; f⁻¹(b)=a ⇔f(a)=b
• f⁻¹(x)≠1/(f(x)) และ (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹
• ถ้า f(x)=(ax+b)/(cx+d) แล้ว f⁻¹(x)=(dx−b)/(−cx+a)

4. ฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ

• เชิงเส้น f(x)=mx+c: m>0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม, m<0 เป็นฟังก์ชันลด
• กำลังสอง f(x)=a(x−h)²+k: จุดยอด (h,k) แกนสมมาตร x=h; a>0 มีค่าต่ำสุด k, a<0 มีค่าสูงสุด k; จากรูปทั่วไป h=−ᵇ⁄₂ₐ, k=f(h)
• อ่านเครื่องหมายจากกราฟ y=ax²+bx+c: เปิดขึ้น/ลงบอก a, จุดตัดแกน y คือ c, ตำแหน่งแกนสมมาตร −ᵇ⁄₂ₐ บอก b, จำนวนจุดตัดแกน x บอก b²−4ac
• ค่าสัมบูรณ์ y=a|x−h|+k เป็นรูปตัว V มีจุดมุมที่ (h,k) ความชันของแขนเป็น ±a
• ขั้นบันได ⌊x⌋ = จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x เช่น ⌊−2.3⌋=−3
• ฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง: ดูให้ดีว่า x อยู่ช่วงใดก่อนแทนค่า โดยเฉพาะที่จุดรอยต่อ
• ฟังก์ชันคู่ f(−x)=f(x) (สมมาตรแกน y) ฟังก์ชันคี่ f(−x)=−f(x) (สมมาตรจุดกำเนิด); คี่×คู่ = คี่, คี่×คี่ = คู่

5. การแปลงกราฟ (จาก y=f(x))

• y=f(x−h)+k: เลื่อนไป ขวา h หน่วย และขึ้น k หน่วย (เครื่องหมายภายในวงเล็บสวนทาง)
• y=−f(x) สะท้อนแกน x; y=f(−x) สะท้อนแกน y; y=af(x) ยืด/หดแนวดิ่ง a เท่า; y=f(bx) หด/ยืดแนวนอน 1/b เท่า
• โดเมนเปลี่ยนตามการแปลงภายใน (x) เรนจ์เปลี่ยนตามการแปลงภายนอก (y)
• ฟังก์ชันเพิ่มบนเซต S: x₁<x₂⇒f(x₁)<f(x₂) ทุก x₁,x₂∈S — การเพิ่ม/ลดบนแต่ละช่วงย่อยไม่ได้แปลว่าเพิ่ม/ลดบนยูเนียนของช่วง

6. การประยุกต์

• อัตราก้าวหน้า (ค่าโดยสาร ค่าไฟฟ้า): คิดทีละขั้นตามช่วง และระวังจุดรอยต่อของช่วง
• ค่าสูงสุด/ต่ำสุด: สร้างฟังก์ชันกำลังสองของตัวแปรเดียว แล้วใช้จุดยอด (หรือจุดกึ่งกลางระหว่างรากทั้งสอง)
• กำไร = (ราคาขาย − ต้นทุนต่อหน่วย) × จำนวนที่ขายได้ — ห้ามใช้รายรับแทนกำไร
• การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ h(t)=h₀+v₀t−½gt² จุดยอดให้ความสูงสูงสุด รากบวกให้เวลาตกถึงพื้น
• อ่านกราฟในชีวิตจริง: ความชันของส่วนของเส้นตรง = อัตราการเปลี่ยนแปลง (หน่วยของแกนตั้งต่อหน่วยของแกนนอน)

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ตัดเศษส่วนแล้วต้องจำเงื่อนไขโดเมนเดิมไว้ เช่น (x²−4)/(x−2)=x+2 เมื่อ x≠2 ทำให้เรนจ์ขาด 4
• โดเมนของ f∘g ต้องพิจารณาทั้ง D_g และเงื่อนไข g(x)∈D_f
• ตัวผกผันของฟังก์ชันที่จำกัดโดเมน ต้องเลือกเครื่องหมายหน้ากรณฑ์ให้ตรงกับเรนจ์ของ f⁻¹
• ⌊x⌋ ของจำนวนลบ ไม่ใช่การตัดทศนิยมทิ้ง
• จำนวนฟังก์ชันจาก A ไป B คือ n(B)^(n(A)) ไม่ใช่ n(A)^(n(B))
• โจทย์แผนภาพลูกศร/กราฟ ให้ตรวจ 3 อย่างเสมอ: เป็นฟังก์ชันหรือไม่ หนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ ทั่วถึงหรือไม่