ชุดที่ 7 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ชุดนี้ครอบคลุมสาระจำนวนและพีชคณิต เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม (คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4) ได้แก่ นิยาม สมบัติและกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล การเลื่อนกราฟ สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึมและสมบัติ ลอการิทึมสามัญและธรรมชาติ แคแรกเทอริสติก/แมนทิสซา จำนวนหลัก สมการและอสมการลอการิทึม และการประยุกต์ (การเติบโต/สลาย ครึ่งชีวิต ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง pH มาตราริกเตอร์ เดซิเบล) พร้อมโจทย์วิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล f(x)=aˣ

• นิยามเมื่อ a>0 และ a≠1 (ถ้า a=1 เป็นฟังก์ชันคงตัว ถ้า a<0 ไม่นิยามบนจำนวนจริงทุกตัว)
• โดเมน ℝ เรนจ์ (0,∞) กราฟผ่าน (0,1) และ (1,a) มีแกน X (y=0) เป็นเส้นกำกับแนวนอน
• a>1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม: aᵐ<aⁿ⇔m<n ส่วน 0<a<1 เป็นฟังก์ชันลด: aᵐ<aⁿ⇔m>n
• เปรียบเทียบฐาน: ทางขวาของแกน Y (เช่นที่ x=1) กราฟที่อยู่สูงกว่ามีฐานมากกว่า
• (¹⁄ₐ)ˣ=a⁻ˣ กราฟของ y=aˣ กับ y=(¹⁄ₐ)ˣ สมมาตรกันเทียบกับแกน Y
• การเลื่อนกราฟ: y=a^(x−h)+k เลื่อนขวา h ขึ้น k เส้นกำกับกลายเป็น y=k เรนจ์ (k,∞) จุดตัดแกน Y ต้องแทน x=0 เสมอ

2. สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล

• ทำฐานให้เท่ากัน: aᵐ=aⁿ⇔m=n (ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)
• ดึงตัวร่วม: 2ˣ⁺¹+2ˣ⁻¹=2ˣ(2+½) (ห้ามรวมเลขชี้กำลังของผลบวก)
• แทนตัวแปร: 4ˣ−3·2ˣ+2=0 ให้ t=2ˣ>0 ได้ t²−3t+2=0 ค่า t≤0 ต้องตัดทิ้ง
• ใช้เอกลักษณ์ (aˣ+a⁻ˣ)²=a²ˣ+a⁻²ˣ+2
• ฐานต่างกันทำให้เท่ากันไม่ได้ ให้ใส่ลอการิทึมทั้งสองข้าง เช่น 5ˣ=3ˣ⁺²⇒x=(2 log 3)/(log 5−log 3)
• อสมการ: ฐานมากกว่า 1 คงเครื่องหมาย ฐานระหว่าง 0 กับ 1 กลับเครื่องหมาย (หรือแปลงเป็นฐานที่มากกว่า 1 ก่อน)

3. ลอการิทึมและสมบัติ

• นิยาม y=logₐx⇔x=aʸ เมื่อ a>0, a≠1, x>0 (ฟังก์ชันผกผันของ aˣ)
• logₐ1=0, logₐa=1, a^logₐx=x, logₐaˣ=x
• logₐMN=logₐM+logₐN, logₐM/N=logₐM−logₐN, logₐMᵏ=k logₐM
• เปลี่ยนฐาน logₐb=(log_cb)/(log_ca), logₐb·log_bc=logₐc, log_aⁿx=¹⁄ₙ logₐx
• ลอการิทึมสามัญ log x=log₁₀x ลอการิทึมธรรมชาติ ln x=logₑx (e≈2.718) และ e^(ln x)=x
• ไม่มีสมบัติ log(M+N)=log M+log N และ (log M)/(log N)≠log M−log N

4. การคำนวณด้วยลอการิทึม

• ค่าที่ใช้บ่อย: log 2≈0.3010, log 3≈0.4771, log 5=1−log 2≈0.6990
• เขียน N=a×10ⁿ (1≤a<10): log N=n+log a โดย n คือแคแรกเทอริสติก และ log a∈[0,1) คือแมนทิสซา เช่น log 0.0372=−2+log 3.72
• จำนวนหลักของ N≥1 เท่ากับแคแรกเทอริสติก +1 เช่น log 2¹⁰⁰=30.10 จึงมี 31 หลัก
• ถ้า N<1 และแคแรกเทอริสติกเป็น −n จะมีศูนย์หลังจุดทศนิยมก่อนเลขโดดแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ n−1 ตัว
• แอนติลอการิทึมเป็นบวกเสมอ: เช่น log x=−2.5229=−3+0.4771 จึงได้ x=3×10⁻³=0.003

5. กราฟฟังก์ชันลอการิทึม

• y=logₐx โดเมน (0,∞) เรนจ์ ℝ ผ่าน (1,0) และ (a,1) แกน Y เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
• สมมาตรกับ y=aˣ เทียบกับเส้น y=x ฐาน a>1 เพิ่ม ฐาน 0<a<1 ลด
• y=logₐ(x+h)+k มีเส้นกำกับ x=−h ตัวผกผันของ y=2ˣ+3 คือ y=log₂(x−3)

6. สมการและอสมการลอการิทึม

• เขียนโดเมนก่อนเสมอ: จำนวนภายในเป็นบวก ฐานเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1
• การรวม log M+log N=log MN ขยายโดเมน อาจเกิด รากแปลกปลอม ต้องแทนกลับตรวจ
• การแยก log x²=2 log x ตัดโดเมน (x<0 หาย) ที่ถูกคือ 2 log |x|
• แทนตัวแปร t=logₐx ได้ (ค่า t ติดลบได้) และสมการ x^(log x)=k x ให้ใส่ log ทั้งสองข้าง
• อสมการ logₐf(x)>logₐg(x): ถ้า a>1 ได้ f(x)>g(x)>0 ถ้า 0<a<1 ได้ 0<f(x)<g(x)

7. การประยุกต์

• เติบโต/สลาย: N(t)=N₀b^(t/T) ช่วงเวลาเท่ากัน คูณด้วยค่าคงตัว
• ครึ่งชีวิต T: N=N₀(½)^(t/T) ลดลงครึ่งหนึ่ง “ของที่เหลือ” ทุกช่วง และไม่เป็นศูนย์
• ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง A=Pe^rt เวลาเพิ่มเป็น 2 เท่า t=(ln 2)/r
• pH=−log [H⁺] ต่างกัน 1 หน่วย ความเข้มข้นต่างกัน 10 เท่า
• ริกเตอร์ M=logA/A₀: M₂−M₁=logA₂/A₁
• เดซิเบล β=10 logI/I₀: ความเข้มเพิ่ม k เท่า ระดับเสียงเพิ่ม 10 log k

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• เจอ a⁻ˣ ให้เปลี่ยนเป็น (¹⁄ₐ)ˣ ก่อนตัดสินว่าเพิ่มหรือลด
• อสมการฐานน้อยกว่า 1 (ทั้งเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม) ต้องกลับเครื่องหมาย ตรวจทิศด้วยการแทนค่าทดลอง
• แทน t=aˣ ต้องมี t>0 แต่แทน t=log x ค่า t ติดลบได้
• นับคำตอบจากกราฟ อย่าดูเฉพาะช่วงที่วาด ต้องพิจารณาเมื่อ x มากหรือน้อยมากด้วย (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลฐานมากกว่า 1 โตเร็วกว่าพหุนามในที่สุด)
• เมื่อค่าลอการิทึมเป็นจำนวนลบ แคแรกเทอริสติกได้จากการปัดลง เช่น −2.3=−3+0.7
• ข้อแนวครูในห้องเรียน: ใช้ตัวอย่างค้านแก้ความเข้าใจผิด เช่น log(2+3)≠log 2+log 3 และให้นักเรียนตรวจโดเมนทุกครั้ง