ชุดที่ 13 เรขาคณิตและการวัด

ชุดนี้ครอบคลุมสาระเรขาคณิตและการวัด (มาตรฐาน ค 2.1, ค 2.2 ระดับ ม.1–ม.3 และเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ครูคณิตศาสตร์ต้องรู้) ได้แก่ มุมและเส้นขนาน รูปหลายเหลี่ยม ความเท่ากันทุกประการ จุดศูนย์กลางต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ ความคล้าย อัตราส่วน ร้อยละ มาตราส่วน วงกลม (มุม คอร์ด เส้นสัมผัส เซกเตอร์) พื้นที่ผิวและปริมาตร รูปคลี่และภาพสามมิติ การแปลงทางเรขาคณิต และการสร้างทางเรขาคณิต

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. มุม เส้นขนาน และรูปหลายเหลี่ยม

• เส้นขนานตัดด้วยเส้นตัด: มุมแย้งเท่ากัน มุมภายนอกกับมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากัน มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ 180°
• เส้นหักไปมาระหว่างเส้นขนาน: ลากเส้นขนานผ่านทุกจุดหักแล้วใช้มุมแย้ง
• รูป n เหลี่ยมนูน: ผลบวกมุมภายใน (n−2)×180° ผลบวกมุมภายนอก 360° เสมอ จำนวนเส้นทแยงมุม (n(n−3))/2
• รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า: มุมภายนอก (360°)/n มุมภายใน 180°−(360°)/n

2. รูปสามเหลี่ยม

• ความเท่ากันทุกประการ: ด.ม.ด., ม.ด.ม., ม.ม.ด., ด.ด.ด., ฉ.ด.ด. (ม.ม.ม. และ ด.ด.ม. ใช้ไม่ได้)
• จุดเซนทรอยด์ (จุดตัดเส้นมัธยฐาน) แบ่งเส้นมัธยฐาน 2:1 จากจุดยอด เส้นมัธยฐานทั้งสามแบ่งพื้นที่เป็น 6 ส่วนเท่ากัน
• จุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน I (จุดตัดเส้นแบ่งครึ่งมุม) ห่างจากด้านเท่ากัน ∠BIC=90°+A/2
• จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ O (จุดตัดเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับด้าน) ห่างจากจุดยอดเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมมี ∠BOC=2A รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมี O ที่กึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก
• จุดตัดของส่วนสูง H อาจอยู่นอกรูป (รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน) ส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ∠BHC=180°−A

3. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• a²+b²=c² ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น บทกลับ: ถ้า a²+b²=c² แล้วมุมตรงข้าม c เป็นมุมฉาก
• จำแนกมุม (c ยาวที่สุด): a²+b²>c² มุมแหลม, = มุมฉาก, < มุมป้าน
• ชุดที่ใช้บ่อย: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (9,40,41), (12,35,37), (20,21,29) สูตรสร้าง (2mn, m²−n², m²+n²)
• รูปสามเหลี่ยม 30°–60°–90° มีด้าน 1:√3:2 และ 45°–45°–90° มีด้าน 1:1:√2
• ระยะสั้นที่สุดบนผิวกล่อง a≥b≥c ระหว่างจุดยอดตรงข้าม =√(a²+(b+c)²)

4. ความคล้าย อัตราส่วน ร้อยละ มาตราส่วน

• รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันเมื่อมุมเท่ากันสามคู่ (ม.ม.ม.) หรืออัตราส่วนด้านที่สมนัยกันเท่ากัน
• อัตราส่วนด้าน k → พื้นที่ k² → ปริมาตร k³
• รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากส่วนสูง CD ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก: CD²=AD·DB, AC²=AD·AB
• มาตราส่วน 1:n ใช้กับความยาว พื้นที่จริงต้องคูณ n²
• หน่วยไทย: 1 วา =2 เมตร, 1 ตารางวา =4 ตารางเมตร, 1 งาน =100 ตารางวา =400 ตารางเมตร, 1 ไร่ =400 ตารางวา =1,600 ตารางเมตร

5. วงกลม

• มุมที่จุดศูนย์กลาง =2× มุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน มุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน มุมในครึ่งวงกลม =90°
• รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม: มุมตรงข้ามรวมกัน 180°
• เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ด เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส เส้นสัมผัสจากจุดภายนอกยาวเท่ากัน
• คอร์ดตัดกัน AE·EB=CE·ED เส้นตัดและเส้นสัมผัส PT²=PA·PB
• วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม: ระยะจากจุดยอดถึงจุดสัมผัส =s− ด้านตรงข้าม (s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป)
• ความยาวเส้นรอบวง 2πr ความยาวส่วนโค้ง θ/(360°)·2πr พื้นที่เซกเตอร์ θ/(360°)·πr² ส่วนของวงกลม = เซกเตอร์ − รูปสามเหลี่ยม

6. พื้นที่ผิวและปริมาตร

• ปริซึมและทรงกระบอก: V=Ah; ทรงกระบอก พื้นที่ผิวทั้งหมด 2πr²+2πrh
• พีระมิดและกรวย: V=⅓Ah (ใช้สูงตรง) พื้นที่ผิวข้างกรวย πrell (ใช้สูงเอียง) โดย ell²=r²+h²
• ทรงกลม: V=⁴⁄₃πr³, A=4πr²; ครึ่งทรงกลม V=⅔πr³
• ม้วนเซกเตอร์เป็นกรวย: รัศมีเซกเตอร์ = สูงเอียง ความยาวส่วนโค้ง =2πr ของฐาน
• 1 ลิตร =1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร และ 1 ลูกบาศก์เมตร =1,000 ลิตร
• ลูกบาศก์ n×n×n ทาสีแล้วตัด: สี 3 หน้า 8, สี 2 หน้า 12(n−2), สี 1 หน้า 6(n−2)², ไม่มีสี (n−2)³
• รูปคลี่ลูกบาศก์มี 11 แบบ ภาพด้านหน้า/ด้านข้างบอกความสูงมากที่สุดในแต่ละแนว

7. การแปลงและการสร้างทางเรขาคณิต

• สะท้อนข้ามแกน X: (x,−y) ข้ามแกน Y: (−x,y) ข้าม y=x: (y,x)
• หมุนรอบ O ทวนเข็มนาฬิกา 90°: (−y,x) ตามเข็มนาฬิกา 90°: (y,−x) หมุน 180°: (−x,−y)
• สะท้อนสองครั้งข้ามเส้นตัดกันมุม θ = หมุน 2θ ข้ามเส้นขนานห่าง a = เลื่อนขนาน 2a
• การขยายรอบจุด C มาตราส่วน k: A'=C+k(A−C)
• การสร้างพื้นฐานให้เหตุผลด้วย ด.ด.ด. มุมจำนวนเต็มองศาที่สร้างได้คือพหุคูณของ 3° (แบ่งมุมเป็นสามส่วนทั่วไปไม่ได้)

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ขยายด้าน k เท่า พื้นที่ไม่ได้เพิ่ม k เท่า และปริมาตรก็ไม่ได้เพิ่ม k เท่า
• ห้ามใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ให้ลากส่วนสูงสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน
• กรวยและพีระมิด: ปริมาตรใช้สูงตรง พื้นที่ผิวข้างใช้สูงเอียง อย่าสลับกัน
• อ่านโจทย์ว่าให้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง และให้พื้นที่ผิวข้างหรือพื้นที่ผิวทั้งหมด
• การแปลงต่อเนื่องไม่มีสมบัติการสลับที่ ต้องทำตามลำดับที่โจทย์กำหนด
• โจทย์มุมในวงกลม ตรวจให้แน่ว่ามุมรองรับส่วนโค้งเดียวกันก่อนใช้ความสัมพันธ์สองเท่า