ชุดที่ 5 พหุนาม สมการ อสมการ และค่าสัมบูรณ์

ชุดนี้ครอบคลุมสาระจำนวนและพีชคณิต (มาตรฐาน ค 1.1 และ ค 1.3 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย และรายวิชาเพิ่มเติม เรื่องจำนวนจริงและพหุนาม) ได้แก่ การดำเนินการและการแยกตัวประกอบพหุนาม การหารพหุนาม ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทตัวประกอบ ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ ความสัมพันธ์ระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์ เศษส่วนของพหุนาม สมการกำลังสองและพหุนามดีกรีสูง สมการเศษส่วนและสมการที่มีกรณฑ์ ระบบสมการ โจทย์ปัญหา อสมการเชิงเส้น กำลังสอง พหุนาม และเศษส่วน รวมถึงค่าสัมบูรณ์ ระยะทางบนเส้นจำนวน และอสมการสามเหลี่ยม พร้อมข้อสอบแนว "ครูคณิตในห้องเรียน" ที่วิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. พหุนามและการแยกตัวประกอบ

• deg(PQ)=deg P+deg Q แต่ deg(P±Q)≤max(deg P,deg Q) (อาจลดลงถ้าพจน์นำหักล้างกัน)
• กำลังสองสมบูรณ์ (a±b)²=a²±2ab+b² (ไม่ใช่ a²+b²) และผลต่างกำลังสอง a²−b²=(a−b)(a+b)
• ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)
• การจัดกลุ่ม: x³+ax²+bx+ab=x²(x+a)+b(x+a)
• ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: ax²+bx+c=a(x+ᵇ⁄₂ₐ)²+c−(b²)/(4a)

2. การหารพหุนามและทฤษฎีบทสำคัญ

• ขั้นตอนวิธีการหาร P(x)=D(x)Q(x)+R(x) โดย deg R<deg D ; หารยาวต้องเติมพจน์ที่ขาดด้วย 0
• หารสังเคราะห์ด้วย x−c: ใส่ c ในช่องซ้าย คูณขึ้นแถวกลาง แล้ว บวก ลงแถวล่าง ตัวสุดท้ายคือเศษ
• ทฤษฎีบทเศษเหลือ: เศษจากการหาร P(x) ด้วย x−c คือ P(c) (หารด้วย ax−b เศษคือ P(ᵇ⁄ₐ))
• ทฤษฎีบทตัวประกอบ: x−c เป็นตัวประกอบของ P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c)=0
• ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ: ถ้า p/q (อย่างต่ำ) เป็นรากของ aₙxⁿ+…+a₀ ที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แล้ว p|a₀ และ q|aₙ
• ความสัมพันธ์รากกับสัมประสิทธิ์: ax²+bx+c=0 ได้ α+β=−ᵇ⁄ₐ, αβ=ᶜ⁄ₐ ; ดีกรีสาม ax³+bx²+cx+d=0 ได้ ผลบวกราก −ᵇ⁄ₐ ผลบวกผลคูณทีละสอง ᶜ⁄ₐ ผลคูณราก −d/a
• เศษส่วนของพหุนาม: ตัดทอนได้เฉพาะ ตัวประกอบ ร่วม ไม่ใช่ พจน์ ร่วม และระบุค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์

3. สมการ

• สูตรกำลังสอง x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) ; D=b²−4ac: D>0 สองรากจริงต่างกัน, D=0 รากซ้ำ, D<0 ไม่มีรากจริง
• เครื่องหมายของรากดูจาก D ผลบวกราก และผลคูณราก พร้อมกัน
• ดีกรีสูง: หารากตรรกยะด้วยทฤษฎีบทตัวประกอบ หรือแทนตัวแปร เช่น u=x²+x แล้วแปลงกลับ
• สมการเศษส่วน: คูณด้วย ค.ร.น. แล้วตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ (รากแปลกปลอม)
• สมการกรณฑ์: ยกกำลังสองแล้วต้องตรวจคำตอบเสมอ เพราะ √A=B ต้องมี B≥0
• ห้ามหารด้วยนิพจน์ที่อาจเป็นศูนย์ (รากหาย)
• ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร: คำตอบเดียว (ตัดกัน) ไม่มีคำตอบ (ขนาน) มากมายไม่จำกัด (ทับกัน) ; ระบบสามตัวแปรใช้การกำจัดตัวแปรทีละตัว
• ระบบกำลังสอง–เชิงเส้น: แทนค่าให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วใช้ D บอกจำนวนคำตอบ
• โจทย์ปัญหา: งาน (บวกอัตรา ¹⁄ₜ), ความเร็ว (ตามน้ำ v+c ทวนน้ำ v−c), ผสม (ปริมาณสารบริสุทธิ์คงเดิม), อายุ (กำหนดอายุปัจจุบันเป็นตัวแปร)

4. อสมการ

• คูณหรือหารด้วยจำนวนลบต้องกลับทิศทางอสมการ
• อสมการพหุนามและเศษส่วน: ย้ายข้างให้อีกข้างเป็น 0 แยกตัวประกอบ ใช้เส้นจำนวนหาเครื่องหมายแต่ละช่วง
• รากกำลังคี่เครื่องหมายเปลี่ยน รากกำลังคู่เครื่องหมายไม่เปลี่ยน
• ค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ ห้ามรวมในคำตอบเสมอ (วงกลมโปร่ง)
• ax²+bx+c>0 ทุกค่า x ก็ต่อเมื่อ a>0 และ D<0

5. ค่าสัมบูรณ์

• |a|=a เมื่อ a≥0 และ |a|=−a เมื่อ a<0 ; √a²=|a|, |ab|=|a||b|, |a−b|=|b−a|
• |x−a| คือระยะทางระหว่าง x กับ a บนเส้นจำนวน
• |A|=k (k>0) ⇔A=±k ; |A|=B ต้องมี B≥0
• |A|<k ⇔−k<A<k ; |A|>k ⇔A<−k หรือ A>k
• |A|≥|B| ⇔A²≥B²
• อสมการสามเหลี่ยม |a+b|≤|a|+|b| และ ||a|−|b||≤|a−b|

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• แทนค่าตรวจคำตอบ (เช่น x=0, 1) ตัดตัวเลือกได้เร็วที่สุด โดยเฉพาะข้อเซตคำตอบของอสมการ
• กับดักที่พบบ่อย: (a+b)²=a²+b², ตัดพจน์แทนตัวประกอบ, หารด้วย x ทำให้รากหาย, ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อคูณด้วยจำนวนลบ, คูณอสมการด้วยตัวส่วนที่ไม่ทราบเครื่องหมาย, ลืมตรวจรากแปลกปลอม
• โจทย์ "ครูในห้องเรียน" ให้หาว่านักเรียนผิดที่ขั้นตอนใด แล้วเลือกคำอธิบายที่ทั้งชี้หลักการและยกตัวอย่างค้านได้ถูกต้อง
• โจทย์ปัญหา: ตรวจเงื่อนไขของตัวแปรตามสถานการณ์จริง (ความยาว อายุ เวลา ต้องเป็นบวก) และอ่านให้ชัดว่าโจทย์ถามปริมาณใด