ชุดที่ 15 สถิติ การวิเคราะห์ข้อมูล และการแจกแจงความน่าจะเป็น

ชุดนี้ครอบคลุมสาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ระดับ ม.1–ม.6 ทั้งรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ได้แก่ กระบวนการทางสถิติ ประเภทและระดับการวัดของข้อมูล การสุ่มตัวอย่าง การนำเสนอข้อมูล (ตารางแจกแจงความถี่ ฮิสโทแกรม แผนภาพต้นใบ แผนภาพจุด แผนภาพกล่อง) ค่ากลาง ตำแหน่งที่ การวัดการกระจาย ค่าผิดปกติ ความเบ้ ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ ตัวแปรสุ่ม การแจกแจงทวินามและเอกรูป สหสัมพันธ์และสมการถดถอยเชิงเส้น รวมถึงสถานการณ์ "ครูในห้องเรียน" ที่ต้องวิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. กระบวนการทางสถิติและข้อมูล

• กระบวนการทางสถิติ: ตั้งคำถามทางสถิติ → เก็บรวบรวมข้อมูล → วิเคราะห์ข้อมูล (จัดกระทำ นำเสนอ คำนวณค่าสถิติ) → แปลความหมายผลลัพธ์ คำถามทางสถิติต้องคาดได้ว่าข้อมูลที่เก็บจากแต่ละหน่วย "แตกต่างกัน"
• ข้อมูลเชิงคุณภาพ (จำแนกประเภท แม้บันทึกเป็นตัวเลข เช่น รหัสไปรษณีย์) / ข้อมูลเชิงปริมาณ: ไม่ต่อเนื่อง (ได้จากการนับ) และต่อเนื่อง (ได้จากการวัด)
• ระดับการวัด: นามบัญญัติ → เรียงอันดับ → อันตรภาค (ระยะห่างเท่ากัน ไม่มีศูนย์แท้ เช่น °C) → อัตราส่วน (มีศูนย์แท้ เทียบเป็นเท่าได้ เช่น น้ำหนัก)
• ประชากร–พารามิเตอร์ (μ, σ) มีค่าคงที่ / ตัวอย่าง–ค่าสถิติ (x̅, s) เปลี่ยนไปตามตัวอย่างที่สุ่มได้
• การสุ่มตัวอย่าง: อย่างง่าย, แบบมีระบบ (เลือกทุก ๆ k=N/n หน่วย), แบบแบ่งชั้นภูมิ (แบ่งตามลักษณะแล้วสุ่มจากทุกชั้น จำนวน Nₕ/N×n), แบบแบ่งกลุ่ม (สุ่มกลุ่มมาทั้งกลุ่ม) ตัวอย่างต้องเป็นตัวแทน การเลือกเฉพาะคนที่หาง่ายทำให้เกิดความเอนเอียง

2. การนำเสนอข้อมูล

• เลือกแผนภูมิ: วงกลม = ส่วนของทั้งหมด (รวม 100%), แท่ง = เปรียบเทียบกลุ่ม, กราฟเส้น = แนวโน้มตามเวลา, ฮิสโทแกรม/แผนภาพกล่อง = การแจกแจง, แผนภาพการกระจาย = สองตัวแปร แผนภูมิแท่งที่แกนตั้งไม่เริ่มที่ 0 ทำให้ความต่างดูเกินจริง
• อันตรภาคชั้น 50–59 (ข้อมูลจำนวนเต็ม): ขอบล่าง 49.5 ขอบบน 59.5 ความกว้าง 10 จุดกึ่งกลาง 54.5
• ความถี่สัมพัทธ์ =(fᵢ)/N ความถี่สะสม = ผลรวมความถี่ตั้งแต่ชั้นแรกถึงชั้นนั้น
• ฮิสโทแกรม: พื้นที่แท่งแทนความถี่ ถ้าความกว้างชั้นไม่เท่ากัน ความสูง = ความถี่ ÷ ความกว้าง (ความหนาแน่นความถี่)
• แผนภาพกล่อง: ค่าต่ำสุด, Q₁, Q₂, Q₃, ค่าสูงสุด แต่ละช่วงมีข้อมูลประมาณ 25% เท่ากัน ช่วงยาวหมายถึงกระจายมาก ไม่ใช่มีข้อมูลมาก

3. ค่ากลาง

• x̅=(Σxᵢ)/N ข้อมูลแจกแจงความถี่ x̅=(Σfᵢxᵢ)/N (ใช้จุดกึ่งกลางชั้น)
• ถ่วงน้ำหนัก x̅_w=(Σwᵢxᵢ)/(Σwᵢ) ค่าเฉลี่ยรวม x̅_c=(Σnᵢx̅ᵢ)/(Σnᵢ) (ห้ามเฉลี่ยค่าเฉลี่ยตรง ๆ ถ้าจำนวนในกลุ่มไม่เท่ากัน)
• มัธยฐาน: เรียงข้อมูลก่อน ตำแหน่ง (N+1)/2 / ฐานนิยม: ค่าข้อมูลที่ซ้ำมากที่สุด (ไม่ใช่ตัวเลขความถี่)
• Σ(xᵢ−x̅)=0, Σ(xᵢ−a)² น้อยสุดเมื่อ a=x̅, Σ|xᵢ−a| น้อยสุดเมื่อ a เป็นมัธยฐาน
• ค่าเฉลี่ยไวต่อค่าผิดปกติ ข้อมูลเบ้หรือมีค่าผิดปกติควรใช้มัธยฐาน

4. ตำแหน่งที่ของข้อมูล

• ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่: ตำแหน่ง Qᵣ=(r(N+1))/4, Pᵣ=(r(N+1))/100 แล้วเทียบส่วนระหว่างค่าที่ติดกัน
• ข้อมูลแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น: ตำแหน่ง (rN)/4 และ Qᵣ=L+(((rN)/4−F_L)/f)I
• P₈₅ คือค่าที่มีข้อมูลประมาณร้อยละ 85 น้อยกว่าค่านั้น (ไม่ใช่ได้ 85 คะแนน)

5. การวัดการกระจาย

• พิสัย = ค่าสูงสุด − ค่าต่ำสุด, ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D.=(Q₃−Q₁)/2 (ทนต่อค่าผิดปกติ)
• ประชากร σ²=(Σ(xᵢ−μ)²)/N=(Σxᵢ²)/N−μ² / ตัวอย่าง s²=(Σ(xᵢ−x̅)²)/(n−1)
• Σx²=N(σ²+μ²) ใช้กับโจทย์แก้ข้อมูลผิด และความแปรปรวนรวมของหลายกลุ่ม
• CV=σ/μ×100% ไม่มีหน่วย ใช้เทียบการกระจายของข้อมูลต่างหน่วย
• ถ้า y=ax+b จะได้ y̅=ax̅+b, s_y=|a|sₓ (บวกค่าคงตัวไม่เปลี่ยนการกระจาย)
• ค่าผิดปกติ: น้อยกว่า Q₁−1.5 IQR หรือมากกว่า Q₃+1.5 IQR เมื่อ IQR=Q₃−Q₁
• เบ้ขวา (หางยาวทางขวา): Mo<Me<x̅ / เบ้ซ้าย: x̅<Me<Mo / สมมาตร: เท่ากัน

6. ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

• z=(x−μ)/σ ค่ามาตรฐานทั้งชุดมีค่าเฉลี่ย 0 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ใช้เทียบคะแนนต่างวิชา
• กฎ 68–95–99.7: ข้อมูลภายใน μ±σ, μ±2σ, μ±3σ
• ตาราง z ให้พื้นที่จาก 0 ถึง z: ช่วงคร่อมค่าเฉลี่ยให้บวก ช่วงอยู่ข้างเดียวกันให้ลบ หางขวา = 0.5 − พื้นที่

7. ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

• ΣP(X=x)=1, E(X)=ΣxP(X=x), V(X)=E(X²)−[E(X)]²
• E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X)
• ทวินาม: P(X=x)=C(n,x)pˣqⁿ⁻ˣ, E(X)=np, V(X)=npq
• เอกรูปบน {1,2,…,n}: P(X=x)=¹⁄ₙ, E(X)=ⁿ⁺¹⁄₂, V(X)=(n²−1)/12

8. ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลสองตัวแปร

• −1≤r≤1 เครื่องหมายบอกทิศทาง |r| บอกความแข็งแรงของความสัมพันธ์เชิงเส้น และไม่เปลี่ยนเมื่อเปลี่ยนหน่วย
• r=0 ไม่ได้แปลว่าไม่มีความสัมพันธ์ (อาจไม่เชิงเส้น) และ r สูงไม่ได้แปลว่าเป็นเหตุและผล (อาจมีตัวแปรแฝง)
• กำลังสองน้อยที่สุด: b=(nΣxy−ΣxΣy)/(nΣx²−(Σx)²), a=y̅−bx̅ เส้นผ่านจุด (x̅,y̅)
• พยากรณ์เฉพาะในช่วงของ x ที่เก็บข้อมูล (หลีกเลี่ยง extrapolation) และ b คือการเปลี่ยนแปลงของ y โดยเฉลี่ยเมื่อ x เพิ่ม 1 หน่วย

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• อ่านโจทย์ให้ชัดว่าใช้ความแปรปรวนแบบประชากร (หารด้วย N) หรือแบบตัวอย่าง (หารด้วย n − 1) และถามความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ก่อนหามัธยฐาน ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์ ต้องเรียงข้อมูลก่อนเสมอ และใช้สูตรตำแหน่งตามที่โจทย์กำหนด
• กับดักยอดนิยม: เฉลี่ยค่าเฉลี่ยโดยไม่ถ่วงน้ำหนัก, อ่านความสูงแท่งของฮิสโทแกรมที่ความกว้างชั้นไม่เท่ากันเป็นความถี่, บวกค่าคงตัวแล้วคิดว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่ม, สรุป r สูงเป็นเหตุและผล, พยากรณ์นอกช่วงข้อมูล
• โจทย์การแจกแจงปกติ: วาดโค้งและแรเงาก่อนคำนวณทุกครั้ง จำค่าคุ้นตา 0.3413 (z = 1), 0.4772 (z = 2), 15.87% และ 2.28%