ชุดที่ 8 เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

ชุดนี้ครอบคลุมสาระการวัดและเรขาคณิต รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ได้แก่ ระยะทาง จุดกึ่งกลาง จุดแบ่งส่วนของเส้นตรง ความชัน เส้นขนาน/ตั้งฉาก สมการเส้นตรง ระยะจากจุดถึงเส้นตรง พื้นที่จากพิกัด การพิสูจน์ด้วยพิกัด วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา การจัดรูปสมการกำลังสองทั่วไป การเลื่อนแกนทางขนาน ทางเดินของจุด และการประยุกต์ (จานรับสัญญาณ วงโคจร สะพานโค้ง อุโมงค์)

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. ระยะทาง จุดกึ่งกลาง จุดแบ่ง

• ระยะทาง d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)
• จุดกึ่งกลาง ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) ถ้ารู้ A และจุดกึ่งกลาง M จะได้ B=2M−A
• จุด P แบ่ง AB ภายใน AP:PB=m:n ได้ P=((nx₁+mx₂)/(m+n), (ny₁+my₂)/(m+n)) (น้ำหนักสลับข้าง)

2. ความชันและสมการเส้นตรง

• m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)=tan θ ; เส้นตรง Ax+By+C=0 มี m=−A/B
• ขนาน ⇔m₁=m₂ ; ตั้งฉาก ⇔m₁m₂=−1 หรือ A₁A₂+B₁B₂=0
• รูปแบบสมการ: จุด-ความชัน y−y₁=m(x−x₁), ความชัน-ระยะตัดแกน y=mx+b, ระยะตัดแกน ˣ⁄ₐ+y/b=1, รูปทั่วไป Ax+By+C=0

3. ระยะทาง พื้นที่ และการพิสูจน์ด้วยพิกัด

• ระยะจากจุด (x₀,y₀) ถึงเส้นตรง d=|Ax₀+By₀+C|/(√(A²+B²)) (ต้องมีค่าสัมบูรณ์เสมอ)
• เครื่องหมายของ Ax₀+By₀+C บอกว่าจุดอยู่ด้านใดของเส้นตรง
• เส้นขนาน Ax+By+C₁=0 กับ Ax+By+C₂=0 ห่างกัน |C₁−C₂|/(√(A²+B²)) (ทำสัมประสิทธิ์ x, y ให้เท่ากันก่อน)
• พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม (สูตรเชือกผูกรองเท้า) ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁−xᵢ₊₁yᵢ)| เรียงจุดตามลำดับรอบรูป
• การพิสูจน์ด้วยพิกัด: วางด้านหนึ่งบนแกน X แต่จุดยอดที่เหลือต้องเป็นตำแหน่งทั่วไป เช่น A(0,0), B(2a,0), C(2b,2c)

4. วงกลม

• รูปมาตรฐาน (x−h)²+(y−k)²=r² ; รูปทั่วไป x²+y²+Dx+Ey+F=0 มีจุดศูนย์กลาง (−D/2,−E/2) และ r²=(D²+E²)/4−F
• เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส ; ความยาวเส้นสัมผัสจากจุดภายนอก t=√(CP²−r²)
• ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรง d: d<r ตัดสองจุด, d=r สัมผัส, d>r ไม่ตัด
• วงกลมสองวง ระยะจุดศูนย์กลาง d: d=r₁+r₂ สัมผัสภายนอก (เส้นสัมผัสร่วม 3 เส้น), d=|r₁−r₂| สัมผัสภายใน

5. พาราโบลา (โฟกัส F ไดเรกตริกซ์ จุดยอด V)

• นิยาม: ระยะถึงโฟกัส = ระยะถึงไดเรกตริกซ์
• (y−k)²=4c(x−h): แกนสมมาตรแนวนอน โฟกัส (h+c, k) ไดเรกตริกซ์ x=h−c
• (x−h)²=4c(y−k): แกนสมมาตรแนวตั้ง โฟกัส (h, k+c) ไดเรกตริกซ์ y=k−c
• ลาตัสเรกตัมยาว |4c| ; คอร์ดผ่านโฟกัสของ y²=4cx ยาว x₁+x₂+2c

6. วงรี

• นิยาม: ผลบวกระยะถึงโฟกัสสองจุด =2a ; a>b เสมอ และ c²=a²−b²
• ((x−h)²)/(a²)+((y−k)²)/(b²)=1 แกนเอกแนวนอน ; ถ้า a² อยู่ใต้ y แกนเอกแนวตั้ง
• แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ความเยื้องศูนย์กลาง e=ᶜ⁄ₐ โดย 0<e<1

7. ไฮเพอร์โบลา

• นิยาม: ผลต่างระยะถึงโฟกัสสองจุด =2a ; c²=a²+b² และ e=ᶜ⁄ₐ>1
• (x²)/(a²)−(y²)/(b²)=1 เส้นกำกับ y=±ᵇ⁄ₐx ; (y²)/(a²)−(x²)/(b²)=1 เส้นกำกับ y=±a/bx (วิธีจำ: แทน 1 ด้วย 0)
• a² คือตัวส่วนใต้พจน์ที่เป็นบวก ไม่จำเป็นต้องมากกว่า b² ; ระยะจากโฟกัสถึงเส้นกำกับเท่ากับ b

8. สมการกำลังสองทั่วไป การเลื่อนแกน และทางเดินของจุด

• Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0: A=C วงกลม, AC>0 วงรี, AC<0 ไฮเพอร์โบลา, AC=0 พาราโบลา แต่ต้องจัดรูปตรวจกรณีลดรูป (จุดเดียว เซตว่าง เส้นตรงสองเส้น)
• เลื่อนแกนทางขนานไปที่ (h,k): x=x'+h, y=y'+k
• หาทางเดินของจุด: ตั้ง P(x,y) เขียนเงื่อนไขเป็นสมการ แล้วจัดรูป ; PA=k·PB (k≠1) ได้วงกลม

9. การประยุกต์

• จานรับสัญญาณ: x²=4cy แทนขอบจาน (ครึ่งความกว้าง, ความลึก) หา c = ระยะจุดยอดถึงหัวรับสัญญาณ
• วงโคจรวงรี: ใกล้สุด a−c ไกลสุด a+c
• สะพาน/อุโมงค์: วางจุดยอดหรือจุดศูนย์กลางบนแกน แล้วแทนพิกัดที่โจทย์ถาม

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• สับสน r กับ r² ในสมการวงกลม และลืมย้ายค่าคงที่ข้ามข้างเมื่อหา r²
• ความชันเส้นตั้งฉาก ต้องทั้ง "กลับเศษส่วน" และ "เปลี่ยนเครื่องหมาย"
• ลืมค่าสัมบูรณ์ในระยะจากจุดถึงเส้นตรง ทำให้คำตอบหายไปหนึ่งกรณี
• วงรีแกนตั้ง: a² คือตัวส่วนที่มากกว่า ไม่ใช่ตัวส่วนใต้ x² ; ไฮเพอร์โบลาใช้ c²=a²+b² ไม่ใช่ a²−b²
• พาราโบลาใช้ 4c ไม่ใช่ c ; ไดเรกตริกซ์อยู่ฝั่งตรงข้ามกับโฟกัสเสมอ
• ตรวจคำตอบด้วยการแทนจุดกลับเข้าไปในสมการทุกครั้ง ใช้เวลาไม่ถึง 30 วินาที