ชุดที่ 14 หลักการนับเบื้องต้น ทฤษฎีบททวินาม และความน่าจะเป็น

ชุดนี้ครอบคลุมสาระสถิติและความน่าจะเป็น มาตรฐาน ค 3.2 (หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น) ระดับ ม.4–6 พื้นฐานและเพิ่มเติม ได้แก่ หลักการบวกและหลักการคูณ แผนภาพต้นไม้ การนับเส้นทางบนตาราง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น เชิงวงกลม และของที่ซ้ำกัน การจัดหมู่ เงื่อนไขติดกัน/ไม่ติดกัน การแบ่งกลุ่ม หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออก การแจกของ ทฤษฎีบททวินาม และความน่าจะเป็น (คลาสสิก เรขาคณิต มีเงื่อนไข อิสระ เบส์ ค่าคาดหมาย)

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. หลักการบวก หลักการคูณ และแผนภาพต้นไม้

• หลักการบวก: งานเลือกทำได้ "ทางใดทางหนึ่ง" ที่ไม่ซ้อนกัน วิธีทั้งหมด =n₁+n₂+⋯
• หลักการคูณ: งานแบ่งเป็นขั้นตอนต่อเนื่อง วิธีทั้งหมด =n₁×n₂×⋯
• จัดตำแหน่งที่มีเงื่อนไขก่อนเสมอ (หลักแรกห้ามเป็น 0, หลักหน่วยเป็นเลขคู่) ถ้าสองตำแหน่งที่มีเงื่อนไข "แย่ง" เลขโดดตัวเดียวกัน ให้แยกกรณี
• แผนภาพต้นไม้ เหมาะกับการทดลองหลายขั้นที่มีเงื่อนไขหยุด เช่น แข่งจนมีผู้ชนะครบ k เกม
• เส้นทางบนตาราง (เดินขวา m ครั้ง ขึ้น n ครั้ง): C(m+n,m) เส้นทาง ผ่านจุด C ใช้ (A→C)×(C→B) ไม่ผ่าน C ใช้ ทั้งหมด − ผ่าน C

2. การเรียงสับเปลี่ยน

• เชิงเส้น: n! และเลือก r จาก n แล้วเรียง P_(n,r)=(n!)/((n−r)!)
• เชิงวงกลม: (n−1)! เท่ากับตรึง 1 คนแล้วเรียงที่เหลือ ถ้ามีคนถูกกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ ให้ตรึงคนนั้นก่อน
• ของที่ซ้ำกัน: (n!)/(n₁! n₂!⋯nₖ!)
• ติดกัน: มัดเป็นก้อน เรียงก้อน แล้วคูณการสลับภายในก้อน
• ไม่ติดกัน: เรียงกลุ่มอื่นก่อน แล้วแทรกลงช่องว่าง (มี k+1 ช่องเมื่อเรียงไว้ k ตัว) ถ้าของที่แทรกแตกต่างกันใช้ P ถ้าเหมือนกันใช้ C(n,r)
• นิเสธของ "ไม่มีสองตัวใดติดกัน" คือ "มีอย่างน้อยสองตัวติดกัน" ไม่ใช่ "ติดกันทั้งหมด"

3. การจัดหมู่และการแบ่งกลุ่ม

• C(n,r)=(n!)/(r! (n−r)!), P_(n,r)=r!C(n,r), C(n,r)=C(n,n−r), C(n,r)=C(n−1,r)+C(n−1,r−1)
• ถามว่า "ลำดับหรือตำแหน่งมีความหมายหรือไม่" ถ้าไม่มีใช้การจัดหมู่
• อย่างน้อยหนึ่ง ใช้ ทั้งหมด − ไม่มีเลย ห้าม "เลือกตัวบังคับก่อนแล้วเลือกที่เหลืออิสระ" เพราะนับซ้ำ
• แบ่งกลุ่ม ที่ไม่มีชื่อ: (n!)/(n₁! n₂!⋯)÷m! เมื่อมีกลุ่มขนาดเท่ากัน m กลุ่ม
• รูปสามเหลี่ยมจากจุด: C(n,3) − ชุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

4. หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออกและการแจกของ

• n(A∪B∪C)=Σn(A)−Σn(A∩B)+n(A∩B∩C) ใช้กับเงื่อนไข "ไม่มีตัวใด" โดยลบออกจากทั้งหมด
• จำนวนใน 1 ถึง N ที่หารด้วย k ลงตัวมี ⌊N/k⌋ จำนวน
• ดาวกับขีดคั่น: x₁+⋯+xₖ=n คำตอบจำนวนเต็มไม่ลบ C(n+k−1,k−1), จำนวนเต็มบวก C(n−1,k−1) ใช้กับการเลือกของ n ชิ้นจาก k ชนิดแบบซ้ำได้
• เงื่อนไขขอบบน (x≤3) ใช้แยกกรณีหรือ ทั้งหมด − (x≥4)

5. ทฤษฎีบททวินาม

• (a+b)ⁿ=Σᵣ₌₀ⁿC(n,r)a^(n−r)b^r มี n+1 พจน์ พจน์ทั่วไป Tᵣ₊₁=C(n,r)a^(n−r)b^r (พจน์ที่ k ใช้ r=k−1)
• เครื่องหมายลบต้องอยู่กับ b เช่น (2x−3)⁷ ใช้ b=−3
• พจน์ที่ไม่มี x: รวมเลขชี้กำลังของ x ในพจน์ทั่วไปแล้วตั้งให้เท่ากับ 0
• สามเหลี่ยมปาสคาล: แถวที่ n คือ C(n,0),…,C(n,n) ผลบวกแถว =2ⁿ
• ผลบวกสัมประสิทธิ์ ของ f(x) คือ f(1) กำลังคู่ =(f(1)+f(−1))/2 กำลังคี่ =(f(1)−f(−1))/2
• หาเศษจากการหาร: เขียนฐานเป็น (พหุคูณของตัวหาร) ±1 แล้วกระจาย

6. ความน่าจะเป็น

• ปริภูมิตัวอย่าง S ต้องมีผลลัพธ์ที่โอกาสเท่ากัน จึงใช้ P(E)=(n(E))/(n(S)) ได้ (ลูกเต๋าสองลูกมี 36 ผลลัพธ์เสมอ)
• 0≤P(E)≤1, P(E')=1−P(E), P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
• อย่างน้อยหนึ่ง: 1−P(none)
• เชิงเรขาคณิต: อัตราส่วนของความยาว พื้นที่ หรือมุม (วงล้อ: มุม/360° ; เป้า: อัตราส่วนพื้นที่ ไม่ใช่รัศมี)
• มีเงื่อนไข: P(A|B)=(P(A∩B))/(P(B)) เท่ากับลดปริภูมิตัวอย่างให้เหลือ B และ กฎการคูณ P(A∩B)=P(A)P(B|A)
• อิสระ: P(A∩B)=P(A)P(B) ต่างจาก ไม่เกิดร่วมกัน A∩B=∅ (ถ้า P(A),P(B)>0 จะเป็นทั้งสองอย่างพร้อมกันไม่ได้)
• ทฤษฎีบทของเบส์: P(Aᵢ|D)=(P(Aᵢ)P(D|Aᵢ))/(Σⱼ P(Aⱼ)P(D|Aⱼ)) อ่านจากแผนภาพต้นไม้หรือตารางการจัดจำแนก
• ค่าคาดหมาย E=ΣxᵢP(xᵢ) เกมยุติธรรมเมื่อค่าคาดหมายของผลได้สุทธิเป็น 0
• เชิงการทดลอง = ความถี่สัมพัทธ์ ซึ่งเข้าใกล้ค่าเชิงทฤษฎีเมื่อทดลองจำนวนมาก

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ใช้การเรียงสับเปลี่ยนเมื่อควรเป็นการจัดหมู่ (คณะกรรมการไม่มีตำแหน่ง) ทำให้นับเกิน r! เท่า
• นับ "อย่างน้อยหนึ่ง" ซ้ำ และบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันได้ เช่น 6×⅙=1
• วงกลม: ลืมหารผลของการหมุน หรือคูณ 2 ทั้งที่การสลับนั้นคือการหมุน
• ทวินาม: สับสน r กับลำดับที่ของพจน์ และลืมยกกำลังสัมประสิทธิ์ของ x หรือเครื่องหมายลบ
• Gambler's fallacy: การโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระ ผลที่ผ่านมาไม่ทำให้ครั้งต่อไปต้องชดเชย
• สับสน P(A|B) กับ P(B|A) ในตารางการจัดจำแนกและโจทย์เบส์
• ตรวจคำตอบด้วยกรณีเล็กที่แจกแจงได้ หรือด้วยคอมพลีเมนต์เป็นวิธีที่สอง