ชุดที่ 10 เมทริกซ์ เวกเตอร์ และจำนวนเชิงซ้อน

ชุดนี้ครอบคลุมเนื้อหารายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย (หลักสูตรแกนกลางฯ ฉบับปรับปรุง 2560) ต่อยอดถึงพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นระดับมหาวิทยาลัย ได้แก่ เมทริกซ์ (การดำเนินการ ดีเทอร์มิแนนต์ ตัวผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้น) เวกเตอร์ในสามมิติ (ขนาด ทิศทาง ผลคูณเชิงสเกลาร์ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ปริมาตร งาน แรงลัพธ์) และจำนวนเชิงซ้อน (สังยุค ค่าสัมบูรณ์ รูปเชิงขั้ว ทฤษฎีบทของเดอมัวร์ รากที่ n สมการพหุนาม) รวม 50 ข้อ พร้อมข้อสถานการณ์ “ครูในห้องเรียน”

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. การดำเนินการของเมทริกซ์

• บวก/ลบได้เมื่อมีมิติเท่ากัน คูณ A_(m×n)B_(n×p) ได้เมทริกซ์มิติ m×p (จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง)
• การคูณไม่มีสมบัติการสลับที่ โดยทั่วไป AB≠BA จึงได้ (A+B)²=A²+AB+BA+B²
• AB=O ไม่ได้บังคับว่า A=O หรือ B=O แต่ถ้า A มีตัวผกผัน AB=AC⇒B=C
• ทรานสโพส: (Aᵗ)ᵗ=A, (A+B)ᵗ=Aᵗ+Bᵗ, (kA)ᵗ=kAᵗ, (AB)ᵗ=BᵗAᵗ (กลับลำดับ)

2. ดีเทอร์มิแนนต์

• det [a b; c d]=ad−bc ส่วน 3×3 ใช้การคูณทแยง (ลง − ขึ้น) หรือกระจายโคแฟกเตอร์
• ไมเนอร์ Mᵢⱼ = ดีเทอร์มิแนนต์เมื่อตัดแถว i หลัก j ออก; โคแฟกเตอร์ Cᵢⱼ=(−1)^(i+j)Mᵢⱼ (เครื่องหมายแบบกระดานหมากรุก)
• สมบัติ (A, B มิติ n×n): det(kA)=kⁿ det A, det(AB)=det A det B, det(Aᵗ)=det A, det(A⁻¹)=1/(det A), det(Aᵐ)=(det A)ᵐ
• ไม่มีสมบัติ det(A+B)=det A+det B
• การดำเนินการตามแถว: สลับสองแถว → เปลี่ยนเครื่องหมาย; คูณหนึ่งแถวด้วย k → ค่าคูณด้วย k; Rᵢ+kRⱼ → ค่าไม่เปลี่ยน
• แถว/หลักเป็นศูนย์ทั้งหมด หรือสองแถวเป็นพหุคูณกัน → ดีเทอร์มิแนนต์เป็น 0

3. ตัวผกผันการคูณและแอดจอยต์

• A มีตัวผกผัน ก็ต่อเมื่อ det A≠0 (A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน)
• 2×2: A⁻¹=1/(ad−bc)[d −b; −c a]
• แอดจอยต์ adjA=[Cᵢⱼ]ᵗ และ A⁻¹=1/(det A)adjA ดังนั้น (A⁻¹)ᵢⱼ=(Cⱼᵢ)/(det A)
• AadjA=(det A)I จึงได้ det(adjA)=(det A)ⁿ⁻¹
• (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹; สมการ AX=B⇒X=A⁻¹B แต่ XA=B⇒X=BA⁻¹

4. ระบบสมการเชิงเส้น

• เขียนเป็น AX=B ถ้า det A≠0 มีคำตอบเดียว X=A⁻¹B
• กฎของคราเมอร์: xⱼ=(det Aⱼ)/(det A) เมื่อ Aⱼ คือ A ที่แทนหลักที่ j ด้วยหลักค่าคงตัว
• ดำเนินการตามแถวกับเมทริกซ์แต่งเติม [A | B] ถ้าได้แถว [0 0 0 | c] เมื่อ c≠0 → ไม่มีคำตอบ; ถ้าไม่มีแถวลักษณะนั้นแต่มีแถว [0 0 0 | 0] (ระบบ 3 สมการ 3 ตัวแปร) → มีคำตอบมากมายไม่จำกัด
• โจทย์ประยุกต์: ตารางจำนวน × ราคา ตรวจมิติก่อนคูณ เช่น Q_(2×3)P_(3×1)

5. เวกเตอร์

• u̅=ai̅+bj̅+ck̅ มีขนาด |u̅|=√(a²+b²+c²) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศ u̅ คือ (u̅)/|u̅|
• AB⃗= จุดปลาย − จุดเริ่มต้น; กฎสามเหลี่ยม AB⃗+BC⃗=AC⃗ และกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• ผลคูณเชิงสเกลาร์ u̅·v̅=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=|u̅||v̅|cos θ (ได้จำนวน)
• ตั้งฉาก ⇔u̅·v̅=0; u̅·u̅=|u̅|²; |u̅±v̅|²=|u̅|²±2u̅·v̅+|v̅|²
• เวกเตอร์ภาพฉายของ u̅ บน v̅: (u̅·v̅)/(|v̅|²)v̅ (ขนานกับ v̅)
• ผลคูณเชิงเวกเตอร์ u̅×v̅ (ได้เวกเตอร์) ตั้งฉากกับทั้ง u̅ และ v̅, |u̅×v̅|=|u̅||v̅|sin θ, v̅×u̅=−u̅×v̅
• |u̅×v̅|²+(u̅·v̅)²=|u̅|²|v̅|²
• พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน =|u̅×v̅|, สามเหลี่ยม =½|AB⃗×AC⃗|
• ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน =|u̅·(v̅×w̅)| (ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3) ถ้าเป็น 0 แปลว่าเวกเตอร์ทั้งสามอยู่บนระนาบเดียวกัน
• งาน W=F̅·s̅; แรงลัพธ์ |F̅₁+F̅₂|²=F₁²+F₂²+2F₁F₂ cos θ

6. จำนวนเชิงซ้อน

• i²=−1 กำลังของ i วนทุก 4 ค่า: 1, i, −1, −i และ iⁿ+iⁿ⁺¹+iⁿ⁺²+iⁿ⁺³=0
• √(−a)=i√a เมื่อ a>0 และ √a√b=√ab ใช้ได้เมื่อ a,b≥0 (ไม่จริงเมื่อ a,b<0)
• z=a+bi, สังยุค z̅=a−bi, zz̅=a²+b²=|z|² การหารให้คูณด้วยสังยุคของตัวส่วน
• |z₁z₂|=|z₁||z₂|, |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|, |zⁿ|=|z|ⁿ
• ระนาบเชิงซ้อน: z̅ สะท้อนข้ามแกนจริง, −z หมุน 180°, iz หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90°
• รูปเชิงขั้ว z=r(cos θ+i sin θ)=rcisθ เลือก θ ให้ตรงจตุภาค
• คูณ: ขนาดคูณกัน มุมบวกกัน; หาร: ขนาดหารกัน มุมลบกัน
• ทฤษฎีบทของเดอมัวร์: (rcisθ)ⁿ=rⁿcisnθ
• รากที่ n ของ rcisθ: ⁿ√rcis(θ+2kπ)/n, k=0,1,…,n−1 เป็นจุดยอดรูป n เหลี่ยมด้านเท่า
• รากที่ n ของ 1 (n≥2) มีผลบวกเป็น 0; ω³=1, 1+ω+ω²=0
• พหุนามสัมประสิทธิ์จริง: รากเชิงซ้อนมาเป็นคู่สังยุค h±ki ให้ตัวประกอบ (x−h)²+k²
• |z−z₀|=r คือวงกลมจุดศูนย์กลาง z₀ รัศมี r; |z−z₀|≤r รวมพื้นที่ภายใน

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• อย่าใช้สูตรพีชคณิตของจำนวนจริงกับเมทริกซ์ทันที (AB=BA, กำลังสองสมบูรณ์, ย้ายข้างเป็นการหาร)
• det(kA) ต้องยกกำลังตามมิติ n เสมอ และ det(adjA)=(det A)ⁿ⁻¹
• ตำแหน่งสมาชิกของ A⁻¹ ต้องใช้โคแฟกเตอร์ที่สลับดัชนี
• แยกให้ชัด: ผลคูณเชิงสเกลาร์ได้จำนวน (มุม ตั้งฉาก งาน) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้เวกเตอร์ (พื้นที่ ปริมาตร)
• พื้นที่ ปริมาตร ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ สามเหลี่ยมต้องคูณ ½
• จำนวนเชิงซ้อน: แปลง √(−a) เป็น i√a ก่อนคูณ; ระวังจตุภาคของอาร์กิวเมนต์
• ทฤษฎีบทรากสังยุคใช้ได้เฉพาะพหุนามที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง
• ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับ (AA⁻¹=I, ผลคูณเชิงเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้น, ยกกำลังรากกลับ)