ชุดที่ 4 เซต ตรรกศาสตร์ และการให้เหตุผล

ชุดนี้ครอบคลุมเนื้อหาเซตและตรรกศาสตร์เบื้องต้น (คณิตศาสตร์ ม.4) และการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การเขียนเซต เซตว่าง เซตจำกัดและเซตอนันต์ สับเซตและเพาเวอร์เซต การดำเนินการของเซต กฎของเดอมอร์แกน แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ผลคูณคาร์ทีเซียน ประพจน์และค่าความจริง การสมมูล นิเสธ สัจนิรันดร์ ตัวบ่งปริมาณ การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย ความสมเหตุสมผล วิธีพิสูจน์ และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พร้อมโจทย์แนว "ครูคณิตในห้องเรียน" ที่วิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. เซตและการเขียนเซต

• สัญลักษณ์: ℕ จำนวนนับ, ℤ จำนวนเต็ม, ℚ จำนวนตรรกยะ, ℝ จำนวนจริง, mathcalU เอกภพสัมพัทธ์
• เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เช่น {1,2,3} หรือแบบบอกเงื่อนไข เช่น {x∈ℤ|0<x<4} (ดูเอกภพของตัวแปรเสมอ)
• เซตว่าง ∅ เป็นเซตจำกัด (n(∅)=0) แต่ {∅} มีสมาชิก 1 ตัว
• เซตอนันต์ เช่น {x∈ℚ|0<x<1} และช่วงของจำนวนจริงทุกช่วงที่ยาวมากกว่าศูนย์

2. สับเซตและเพาเวอร์เซต

• a∈A หมายถึง a เป็นสมาชิกของ A ; B⊂A หมายถึงสมาชิกทุกตัวของ B อยู่ใน A
• ∅⊂A และ A⊂A เสมอ
• P(A) คือเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ; X∈P(A)⇔X⊂A ; n(P(A))=2^(n(A))
• P(A∩B)=P(A)∩P(B) แต่ P(A)∪P(B)⊂P(A∪B) (เท่ากันก็ต่อเมื่อ A⊂B หรือ B⊂A)
• จำนวนสับเซตของเซตที่มี m สมาชิก ที่ต้องมีสมาชิก k ตัวที่กำหนดอยู่ด้วย เท่ากับ 2ᵐ⁻ᵏ

3. การดำเนินการของเซต

• A∪B, A∩B, A−B=A∩B', A'=mathcalU−A
• กฎของเดอมอร์แกน: (A∪B)'=A'∩B' และ (A∩B)'=A'∪B'
• A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) และ A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
• การแจกแจง: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) และ A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
• คอมพลีเมนต์ของช่วงบน ℝ สลับจุดปลายเปิด–ปิด เช่น [−2,3)'=(−∞,−2)∪[3,∞)
• แผนภาพเวนน์ 3 วงมี 8 บริเวณ ตรวจนิพจน์ทีละบริเวณด้วยรหัสการเป็นสมาชิก เช่น (1,1,0)

4. จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดและผลคูณคาร์ทีเซียน

• n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
• n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)
• ถ้า e₁,e₂,e₃ คือจำนวนสมาชิกที่อยู่ 1, 2, 3 เซตพอดี จะได้ n(A)+n(B)+n(C)=e₁+2e₂+3e₃ และ n(A∪B∪C)=e₁+e₂+e₃
• อยู่เพียงเซตเดียว (2 เซต) =n(A)+n(B)−2n(A∩B)
• max {0, n(A)+n(B)−n(mathcalU)}≤n(A∩B)≤min {n(A), n(B)}
• A×B={(a,b)|a∈A, b∈B}, n(A×B)=n(A)·n(B) และ (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)

5. ประพจน์และค่าความจริง

• ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง (ประโยคเปิด คำถาม คำสั่ง ขอร้อง ไม่เป็นประพจน์)
• p∧q จริงเมื่อจริงทั้งคู่ ; p∨q เท็จเมื่อเท็จทั้งคู่ ; p→q เท็จกรณีเดียวคือ T→F ; p↔q จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน
• หาค่าความจริงย้อนกลับ: เริ่มจากตัวเชื่อมหลัก ตัวแปรที่บังคับไม่ได้ต้องพิจารณาทุกกรณี

6. การสมมูล นิเสธ และสัจนิรันดร์

• p→q≡~p∨q≡~q→~p (แย้งสลับที่) ส่วนบทกลับ q→p และอินเวอร์ส ~p→~q ไม่สมมูลกับประโยคเดิม
• ~(p→q)≡p∧~q ; ~(p∧q)≡~p∨~q ; ~(p∨q)≡~p∧~q
• p↔q≡(p→q)∧(q→p) ; ~(p↔q)≡~p↔q
• p→(q→r)≡(p∧q)→r ; (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
• สัจนิรันดร์คือประพจน์ที่จริงทุกกรณี ตรวจโดยสมมติให้เป็นเท็จ ถ้าเกิดข้อขัดแย้งแสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าหาค่าได้แสดงว่าไม่เป็น

7. ตัวบ่งปริมาณ

• ∀x[P(x)] จริงเมื่อทุก x∈mathcalU ทำให้ P(x) จริง ; ∃x[P(x)] จริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งตัว
• นิเสธ: ~∀x[P(x)]≡∃x[~P(x)] และ ~∃x[P(x)]≡∀x[~P(x)]
• ∀x∃y (y ขึ้นกับ x ได้) ต่างจาก ∃y∀x (y ตัวเดียวต้องใช้ได้กับทุก x)
• ∀x[P(x)→Q(x)] เป็นจริงเสมอ ถ้าไม่มี x ใดทำให้ P(x) จริง

8. การให้เหตุผลและความสมเหตุสมผล

• อุปนัย: สรุปข้อความทั่วไปจากการสังเกตหลายกรณี (ผลสรุปอาจไม่จริง) ; นิรนัย: สรุปจากเหตุที่ยอมรับว่าจริงด้วยหลักตรรกศาสตร์
• การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อ (H₁∧H₂∧⋯∧Hₙ)→C เป็นสัจนิรันดร์ (Hᵢ คือเหตุ และ C คือผล)
• รูปแบบที่สมเหตุสมผล: modus ponens (p→q, p ∴ q), modus tollens (p→q, ~q ∴ ~p), กฎการถ่ายทอด (p→q, q→r ∴ p→r), การตัดทิ้งกรณี (p∨q, ~p ∴ q)
• ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ยืนยันผล (p→q, q ∴ p) และปฏิเสธเหตุ (p→q, ~p ∴ ~q)
• แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์: พิจารณาทุกแบบที่วาดได้ตามเหตุ ถ้ามีแบบที่ผลไม่จริง แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล

9. วิธีพิสูจน์และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

• พิสูจน์โดยตรง: สมมติ p แล้วแสดง q ; แย้งสลับที่: สมมติ ~q แล้วแสดง ~p ; ข้อขัดแย้ง: สมมติข้อความเป็นเท็จแล้วหาข้อขัดแย้ง ; ตัวอย่างค้าน: ทำให้เหตุจริงแต่ผลเท็จ ใช้หักล้างข้อความ "ทุก"
• อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์: (1) ขั้นฐาน P(1) จริง (2) ขั้นอุปนัย สมมติ P(k) จริง แล้วแสดงว่า P(k+1) จริง จึงได้ P(n) จริงทุกจำนวนนับ n
• ถ้าขั้นอุปนัยใช้ได้เฉพาะ k≥m ต้องใช้ขั้นฐาน a≥m ที่ P(a) จริง ได้ผลเฉพาะ n≥a

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• สับสน ∈ กับ ⊂ และ ∅ กับ {∅}: ให้ถอดวงเล็บปีกกานอกสุดแล้วตรวจสมาชิกทีละตัว
• นิเสธของ "ทุก" คือ "มีบาง...ที่ไม่..." ไม่ใช่ "ทุก...ไม่..."
• p→q ไม่สมมูลกับ q→p และนิเสธของ "ถ้า...แล้ว" เป็นประโยค "และ"
• "หรือ" ในตรรกศาสตร์รวมกรณีที่จริงทั้งคู่
• โจทย์สำรวจ 3 เซต ต้องแยก "อยู่สองเซตพอดี" กับ n(A∩B) ให้ออก
• ตรวจสัจนิรันดร์และความสมเหตุสมผลด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง เร็วกว่าตารางค่าความจริง
• การพิสูจน์อุปนัยที่ลืมขั้นฐาน หรือขั้นอุปนัยใช้ไม่ได้กับทุก k เป็นการพิสูจน์ที่ผิด