ชุดที่ 3 ระบบจำนวนจริง เลขยกกำลัง กรณฑ์ และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

ชุดนี้ครอบคลุมสาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต (มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของจำนวน ผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ สมบัติของการดำเนินการ และนำไปใช้) ได้แก่ ระบบจำนวนจริง เลขยกกำลัง กรณฑ์ และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น รวมโจทย์แนว "ครูคณิตในห้องเรียน" ที่วิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. ระบบจำนวนจริง

• จำนวนตรรกยะเขียนได้ในรูป a/b เมื่อ a,b∈ℤ และ b≠0 ได้แก่ จำนวนเต็ม ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมซ้ำ ส่วนจำนวนอตรรกยะคือทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น √2, π
• ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน: เศษ = ตัวเลขทั้งหมด − ตัวเลขส่วนที่ไม่ซ้ำ ส่วน = เลข 9 ตามจำนวนหลักที่ซ้ำ ตามด้วยเลข 0 ตามจำนวนหลักที่ไม่ซ้ำหลังจุด เช่น 0.1dot2=(12−1)/90=¹¹⁄₉₀ และ 0.dot9=1
• สมบัติของจำนวนจริง: สมบัติการเท่ากัน (สะท้อน สมมาตร ถ่ายทอด การบวก/คูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน) สมบัติการบวกและการคูณ (ปิด สลับที่ เปลี่ยนกลุ่ม เอกลักษณ์ ตัวผกผัน) และสมบัติการแจกแจง a(b+c)=ab+ac เอกลักษณ์การบวกคือ 0 การคูณคือ 1 และ 0 ไม่มีตัวผกผันการคูณ
• สำหรับการดำเนินการที่นิยามใหม่ หาเอกลักษณ์ e จาก a*e=e*a=a ทุก a ก่อน แล้วหาตัวผกผัน a' จาก a*a'=e
• เซตจำนวนอตรรกยะไม่ปิดการบวกและการคูณ เช่น √2+(−√2)=0, √2·√2=2 แต่ถ้า r ตรรกยะ (r≠0) และ s อตรรกยะ แล้ว r+s และ rs เป็นอตรรกยะ
• สมบัติการไม่เท่ากัน: a<b⇒a+c<b+c; ถ้า c>0 แล้ว ac<bc; ถ้า c<0 แล้ว ac>bc; บวกอสมการทิศเดียวกันได้ แต่ลบหรือคูณอสมการกันไม่ได้เสมอไป
• ช่วง: (a,b) ไม่รวมปลาย [a,b] รวมปลาย บนเส้นจำนวนใช้จุดโปร่ง (ไม่รวม) และจุดทึบ (รวม)
• ความหนาแน่น: ระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนที่ต่างกันมีจำนวนตรรกยะและอตรรกยะอยู่เสมอ (ไม่มี "จำนวนถัดไป")
• พิสูจน์ √2 เป็นอตรรกยะด้วยข้อขัดแย้ง: สมมติ √2=p/q โดย ห.ร.ม. ของ p,q เป็น 1 จะได้ p²=2q² ทำให้ 2|p และ 2|q ขัดแย้ง (หัวใจคือ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ)

2. เลขยกกำลัง

• aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)/(aⁿ)=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a⁰=1 (a≠0), a⁻ⁿ=1/(aⁿ)
• a^(ᵐ⁄ₙ)=(ⁿ√a)ᵐ=ⁿ√aᵐ ใช้ได้อย่างปลอดภัยเมื่อ a>0 ถ้าฐานเป็นลบ ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก่อน เช่น (−8)^(²⁄₆)=(−8)^⅓=−2
• สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ A×10ⁿ เมื่อ 1≤A<10 และ n∈ℤ
• เปรียบเทียบเลขยกกำลัง: ทำเลขชี้กำลังให้เท่ากัน (ใช้ ห.ร.ม. ของเลขชี้กำลัง) แล้วเทียบฐาน หรือทำฐานให้เท่ากันแล้วเทียบเลขชี้กำลัง
• เอกลักษณ์ที่ใช้บ่อย: ถ้า t+t⁻¹=k แล้ว t²+t⁻²=k²−2 และ t³+t⁻³=k³−3k

3. กรณฑ์

• ⁿ√a คือค่าหลัก: √a≥0 เสมอ, √x²=|x| และ ⁿ√xⁿ=x เมื่อ n คี่
• ⁿ√ab=ⁿ√aⁿ√b และ ⁿ√(a/b)=(ⁿ√a)/(ⁿ√b) (เมื่อหาค่าได้) แต่ √(a+b)≠√a+√b โดยทั่วไป
• บวกลบได้เฉพาะกรณฑ์ที่คล้ายกัน เช่น √12+√27=2√3+3√3=5√3 คูณกรณฑ์ต่างอันดับให้ทำอันดับให้เท่ากันด้วย ค.ร.น.
• ส่วนติดกรณฑ์: คูณด้วยสังยุค (√a+√b)(√a−√b)=a−b และสำหรับรากที่สามใช้ x³±y³=(x±y)(x²∓xy+y²)
• รากที่สองซ้อน: √((a+b)±2√ab)=√a±√b เมื่อ a>b>0
• √(n+1)−√n=1/(√(n+1)+√n) ใช้เปรียบเทียบและหาผลบวกแบบตัดกัน

4. ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

• b|a เมื่อมี c∈ℤ ที่ a=bc (b≠0) ถ้า d|a และ d|b แล้ว d|(ax+by) ทุก x,y∈ℤ
• ขั้นตอนวิธีการหาร: a=bq+r, 0≤r<|b| (เศษไม่เป็นลบเสมอ)
• จำนวนเฉพาะ p≠0,±1 มีตัวหารเพียง ±1,±p; ตรวจด้วยจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน √n; 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
• ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต: n>1 เขียนเป็นผลคูณจำนวนเฉพาะได้แบบเดียว ถ้า n=p₁^a₁⋯pₖ^aₖ จำนวนตัวหารบวก =(a₁+1)⋯(aₖ+1) ผลบวกตัวหาร =Π(1+pᵢ+⋯+pᵢ^aᵢ)
• ห.ร.ม. ใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด และเขียน ห.ร.ม. =ax+by ได้ (ย้อนกลับ) ส่วน ห.ร.ม.(a,b)·ค.ร.น.(a,b)=ab สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวน (ไม่ขยายไปสามจำนวนโดยตรง)
• สมภาค a≡b (mod n)⇔n|(a−b) บวก ลบ คูณ ยกกำลังได้ แต่ตัดตัวคูณร่วมได้เมื่อตัวนั้นเฉพาะสัมพัทธ์กับ n
• ax≡b (mod n) มีคำตอบเมื่อ d= ห.ร.ม.(a,n) หาร b ลงตัว และมี d คำตอบในมอดุโล n
• ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์: p เฉพาะ, pnmida⇒a^(p−1)≡1 (mod p) และ a^p≡a (mod p) ทุก a
• สมการไดโอแฟนไทน์ ax+by=c มีคำตอบเมื่อ d|c คำตอบทั่วไป x=x₀+b/dt, y=y₀−a/dt
• ระบบเลขฐาน b: (dₖ…d₁d₀)_b=Σdᵢbⁱ โดย 0≤dᵢ≤b−1

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• √16=4 ไม่ใช่ ±4 แต่ "รากที่สองของ 16" คือ ±4
• ฐานเป็นลบกับเลขชี้กำลังตรรกยะ ห้ามแยก ²⁄₆=2·⅙ แล้วยกกำลังสองก่อน
• "ระยะห่างมากที่สุด / ชิ้นใหญ่ที่สุด" ใช้ ห.ร.ม. "ต่อกันเล็กที่สุด / พบกันครั้งแรก" ใช้ ค.ร.น. และระวังนับต้นไม้บนเส้นปิดกับเส้นเปิด
• หลักหน่วยของเลขยกกำลังวนเป็นรอบ (ฐาน 2, 3, 7, 8 รอบละ 4) ใช้เศษจากการหารเลขชี้กำลังด้วย 4
• ข้อความ "ถูกเสมอ" ให้หาตัวอย่างค้าน: จำนวนลบ, 0, จำนวนที่มีตัวประกอบร่วม
• ทุกครั้งที่ได้ฐาน b จากสมการ ต้องตรวจว่า b มากกว่าเลขโดดทุกตัว