ชุดที่ 11 ลำดับ อนุกรม และคณิตศาสตร์การเงิน

ชุดนี้ครอบคลุมสาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 1.2 (แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้) ระดับ ม.ปลาย ทั้งรายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม ได้แก่ แบบรูปและลำดับ (เลขคณิต เรขาคณิต ฮาร์มอนิก เวียนเกิด ฟีโบนักชี ลิมิตของลำดับ) อนุกรมจำกัดและอนุกรมอนันต์ (สัญลักษณ์ Σ อนุกรมกล้องส่องทางไกล ทศนิยมซ้ำ โจทย์ประยุกต์) และคณิตศาสตร์การเงิน (ดอกเบี้ย มูลค่าของเงิน ค่ารายงวด เงินกู้ ค่าเสื่อมราคา) พร้อมโจทย์แนววิเคราะห์ความคิดคลาดเคลื่อนของนักเรียนในห้องเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. แบบรูปและลำดับ

• ลำดับคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1,2,…,n} (ลำดับจำกัด) หรือจำนวนนับทั้งหมด (ลำดับอนันต์) เขียนพจน์ที่ n ว่า aₙ
• หาพจน์ทั่วไปจากแบบรูป: นับพจน์แรก ๆ แล้วดูผลต่าง ถ้าผลต่างคงที่เป็นลำดับเลขคณิต ถ้าผลต่างชั้นที่สองคงที่ aₙ เป็นพหุนามดีกรี 2 หรือดูโครงสร้างรูป เช่น n แถว แถวละ n+1 จุด ได้ n(n+1) แล้ว แทน n=1,2,3 ตรวจทุกครั้ง
• ลำดับเลขคณิต: aₙ=a₁+(n−1)d, aₘ−aₖ=(m−k)d, จำนวนพจน์ n=(aₙ−a₁)/d+1 สามพจน์เรียงกันตั้งเป็น a−d, a, a+d
• ลำดับเรขาคณิต: aₙ=a₁rⁿ⁻¹, r=(aₙ₊₁)/aₙ และ a,b,c (ไม่เป็นศูนย์) เป็นลำดับเรขาคณิตเมื่อ b²=ac
• ลำดับฮาร์มอนิก: aₙ เป็นลำดับฮาร์มอนิกเมื่อ 1/aₙ เป็นลำดับเลขคณิต
• ค่าเฉลี่ยของ a,b>0: AM=ᵃ⁺ᵇ⁄₂, GM=√ab, HM=(2ab)/(a+b) โดย AM≥GM≥HM และ GM²=AM·HM
• ลำดับเวียนเกิด aₙ₊₁=raₙ+c: หา k=ᶜ⁄₁₋ᵣ จะได้ aₙ−k เป็นลำดับเรขาคณิตอัตราส่วน r
• ลำดับฟีโบนักชี F₁=F₂=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ: 1,1,2,3,5,8,13,21,… สมบัติ Σₖ₌₁ⁿFₖ=Fₙ₊₂−1, Fₙ₊₁²−FₙFₙ₊₂=(−1)ⁿ, lim(Fₙ₊₁)/Fₙ=(1+√5)/2

2. ลิมิตของลำดับ ลำดับลู่เข้า/ลู่ออก

• ลำดับลู่เข้าเมื่อ lim_(n→∞)aₙ=L มีค่าเป็นจำนวนจริง ไม่เช่นนั้นลู่ออก (โตไม่มีขอบเขต หรือแกว่ง เช่น (−1)ⁿ)
• lim1/(nᵏ)=0 เมื่อ k>0; lim rⁿ=0 เมื่อ |r|<1 และลู่ออกเมื่อ |r|>1 หรือ r=−1
• เศษส่วนพหุนาม: หารด้วย n กำลังสูงสุดของส่วน (ดีกรีเท่ากัน → อัตราส่วนสัมประสิทธิ์นำ)
• รูป √()−√() ให้คูณสังยุค; ทฤษฎีบทลิมิตของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ ผลหาร ใช้ได้เมื่อแต่ละลำดับลู่เข้า (∞−∞ สรุปค่าไม่ได้)

3. อนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก

• Σₖ₌₁ⁿc=nc, Σ(aₖ±bₖ)=Σaₖ±Σbₖ, Σcaₖ=cΣaₖ แต่ Σaₖ²≠(Σaₖ)² และ Σaₖbₖ≠ΣaₖΣbₖ
• Σₖ₌₁ⁿk=(n(n+1))/2, Σₖ₌₁ⁿk²=(n(n+1)(2n+1))/6, Σₖ₌₁ⁿk³=[(n(n+1))/2]²
• อนุกรมเลขคณิต Sₙ=ⁿ⁄₂(a₁+aₙ)=ⁿ⁄₂[2a₁+(n−1)d]; อนุกรมเรขาคณิต Sₙ=(a₁(rⁿ−1))/(r−1)=(aₙr−a₁)/(r−1) (r≠1)
• aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ เมื่อ n≥2 และ a₁=S₁
• อนุกรมกล้องส่องทางไกล: เขียนพจน์เป็น f(k)−f(k+1) เช่น 1/(k(k+m))=¹⁄ₘ(¹⁄ₖ−¹⁄ₖ₊ₘ), 1/(√k+√(k+1))=√(k+1)−√k

4. อนุกรมอนันต์

• ผลบวกของอนุกรมอนันต์ =lim_(n→∞)Sₙ ถ้าลิมิตไม่มี อนุกรมลู่ออก (การจัดกลุ่มพจน์ใหม่ใช้ได้กับอนุกรมลู่เข้าเท่านั้น)
• อนุกรมเรขาคณิตลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ |r|<1 และ S_(∞)=a₁/(1−r); เช่น Σₙ₌₁^(∞)rⁿ=r/(1−r)
• ถ้า lim aₙ≠0 อนุกรม Σaₙ ลู่ออกแน่นอน
• ทศนิยมซ้ำ k หลัก ใช้ r=10⁻ᵏ เช่น 0.dot3=0.3/(1−0.1)=⅓
• อนุกรมเลขคณิต×เรขาคณิต ใช้วิธี S−rS
• ลูกบอลกระดอน: ปล่อยจากสูง h กระดอนสูง r เท่าทุกครั้ง ระยะทางรวม =h+2·(hr)/(1−r)=h·(1+r)/(1−r)

5. คณิตศาสตร์การเงิน

• ดอกเบี้ยคงต้น: I=Prt, S=P(1+rt) เงินรวมเพิ่มแบบลำดับเลขคณิต
• ดอกเบี้ยทบต้นปีละ k ครั้ง: อัตราต่องวด i=r/k จำนวนงวด n=kt และ S=P(1+i)ⁿ เงินรวมเพิ่มแบบลำดับเรขาคณิต
• อัตราผลตอบแทนที่แท้จริงต่อปี r_eff=(1+r/k)ᵏ−1 (มากกว่าอัตราที่ประกาศเมื่อ k>1) ใช้เปรียบเทียบเงินฝากต่างความถี่
• มูลค่าอนาคต S=P(1+i)ⁿ และมูลค่าปัจจุบัน P=S(1+i)⁻ⁿ
• ค่ารายงวดปลายงวด: มูลค่าอนาคต S=R·((1+i)ⁿ−1)/i มูลค่าปัจจุบัน P=R·(1−(1+i)⁻ⁿ)/i; ฝากต้นงวดคูณเพิ่มอีก (1+i)
• ค่างวดเงินกู้ R=(P i)/(1−(1+i)⁻ⁿ) ยอดคงเหลือหลังงวดที่ k = มูลค่าปัจจุบันของค่างวดที่เหลือ n−k งวด ส่วนที่ตัดเงินต้นเพิ่มขึ้นแบบเรขาคณิตอัตราส่วน 1+i
• ค่าเสื่อมราคาแบบเรขาคณิต (ลดลง r ของมูลค่าต้นปี): Vₙ=V₀(1−r)ⁿ
• หาจำนวนงวดใช้ลอการิทึมกับค่าที่โจทย์กำหนด แล้ว ปัดขึ้น เมื่อถาม "อย่างน้อย"
• เปรียบเทียบทางเลือกการเงิน (ซื้อสด/ผ่อน, เงินฝากต่างแบบ) ต้องนำเงินมาคิด ณ เวลาเดียวกัน

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ใช้ n แทน n−1 ในพจน์ทั่วไป และลืม +1 ตอนนับจำนวนพจน์ — ตรวจด้วยการแทน n=1 เสมอ
• ใช้สูตร a₁/(1−r) กับ |r|≥1 หรือใช้เงื่อนไขเพียง r<1 — สูตรให้ตัวเลขได้แต่ไม่มีความหมาย
• สับสน Σₙ₌₁^(∞)rⁿ (พจน์แรก r) กับ Σₙ₌₀^(∞)rⁿ (พจน์แรก 1)
• ใช้อัตราต่อปีแทนอัตราต่องวด หรือใช้จำนวนปีแทนจำนวนงวด — เขียน i และ n แยกไว้ก่อนแทนสูตร
• สับสนดอกเบี้ยคงต้นกับทบต้น และดอกเบี้ยเงินผ่อนแบบคงต้น (flat rate) ดูต่ำกว่าความจริง
• เงินกู้ใช้ (1+i)⁻ⁿ การออมถึงเป้าหมายใช้ (1+i)ⁿ — ตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบเทียบกับกรณีไม่มีดอกเบี้ย