ชุดที่ 12 แคลคูลัสเบื้องต้น: ลิมิต ความต่อเนื่อง อนุพันธ์ และปริพันธ์

ชุดนี้ครอบคลุมสาระแคลคูลัสเบื้องต้นตามหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 (สสวท.) ได้แก่ ลิมิตของฟังก์ชัน (ลิมิตซ้าย/ขวาจากกราฟ ทฤษฎีบทลิมิต รูปแบบ ⁰⁄₀ ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเป็นช่วง) ความต่อเนื่องและทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง อนุพันธ์ (นิยาม สูตร กฎลูกโซ่ อนุพันธ์อันดับสูง เส้นสัมผัส/เส้นปกติ อัตราการเปลี่ยนแปลง การเคลื่อนที่ ฟังก์ชันเพิ่ม/ลด ค่าสุดขีด จุดเปลี่ยนเว้า การอ่านกราฟ f' โจทย์ค่าสูงสุด/ต่ำสุด อัตราสัมพัทธ์) และปริพันธ์ (ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต/จำกัดเขต ทฤษฎีบทหลักมูล การเปลี่ยนตัวแปร พื้นที่ ระยะทางจากความเร็ว ผลรวมรีมันน์) พร้อมโจทย์แนววิเคราะห์ความเข้าใจคลาดเคลื่อนของนักเรียน

ซีรีส์ติวสอบครูผู้ช่วย เอกคณิตศาสตร์ 2569 • exammvp.com

สรุปเนื้อหาสำคัญ

1. ลิมิตของฟังก์ชัน

• lim_(x→a)f(x)=L ก็ต่อเมื่อ lim_(x→a⁻)f(x)=lim_(x→a⁺)f(x)=L ลิมิตไม่ขึ้นกับค่า f(a) (อ่านจากกราฟ: ดูทางที่กราฟวิ่งเข้าหา ไม่ใช่จุดทึบ)
• ทฤษฎีบทลิมิต: ลิมิตของผลบวก ผลต่าง ผลคูณ ค่าคงตัวคูณ และกำลัง เท่ากับการดำเนินการเดียวกันกับลิมิต ผลหารใช้ได้เมื่อลิมิตของตัวส่วน ≠0
• รูป ⁰⁄₀ เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ให้แยกตัวประกอบ (a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)) หรือคูณด้วยสังยุค (√A−B คูณ √A+B)
• ลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันตรรกยะ: ดีกรีเศษ < ส่วน ได้ 0; เท่ากัน ได้อัตราส่วนสัมประสิทธิ์นำ; มากกว่า ลิมิตไม่มีค่า (เป็น ±∞)
• √x²=|x| เมื่อ x→−∞ ต้องใช้ √x²=−x ส่วน ∞−∞ ต้องคูณสังยุคก่อน
• lim_(x→0)(sin x)/x=1, lim_(x→0)(tan x)/x=1, lim_(x→0)(1−cos kx)/(x²)=(k²)/2 (มุมเป็นเรเดียน)
• ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์/ฟังก์ชันเป็นช่วง ต้องแยกหาลิมิตซ้ายและขวาเสมอ

2. ความต่อเนื่อง

• f ต่อเนื่องที่ x=a เมื่อ (1) f(a) หาค่าได้ (2) lim_(x→a)f(x) หาค่าได้ (3) lim_(x→a)f(x)=f(a)
• หาค่าคงตัวให้ต่อเนื่อง: ถ้าตัวส่วน →0 แต่ลิมิตมีค่า ตัวเศษต้อง →0 ด้วย
• ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: f ต่อเนื่องบน [a,b] และ f(a)f(b)<0 แล้วมีราก c∈(a,b) อย่างน้อยหนึ่งราก (บทกลับไม่จริง และต้องต่อเนื่อง)

3. อนุพันธ์และสูตร

• นิยาม f'(a)=lim_(h→0)(f(a+h)−f(a))/h และ lim_(h→0)(f(a+ph)−f(a+qh))/(rh)=(p−q)/rf'(a)
• d/(dx)xⁿ=nxⁿ⁻¹, (uv)'=u'v+uv' (ไม่ใช่ u'v'), (u/v)'=(u'v−uv')/(v²)
• กฎลูกโซ่ d/(dx)f(g(x))=f'(g(x)) g'(x) คูณอนุพันธ์ของทุกชั้น
• (sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x, (tan x)'=sec²x, (eˣ)'=eˣ, (aˣ)'=aˣ ln a, (ln x)'=¹⁄ₓ, (ln u)'=(u')/u
• อนุพันธ์อันดับสูงของ sin kx วนรอบทุก 4 อันดับ: (dⁿ)/(dxⁿ) sin kx=kⁿ sin(kx+(nπ)/2)

4. การประยุกต์ของอนุพันธ์

• ความชันเส้นสัมผัส m=f'(a) เส้นปกติมีความชัน −1/(f'(a)) ถ้าจุดที่ลากผ่านไม่อยู่บนเส้นโค้ง ให้สมมติจุดสัมผัส (a,f(a))
• อัตราเฉลี่ย (f(b)−f(a))/(b−a) อัตราขณะหนึ่ง f'(a)
• การเคลื่อนที่: v=s'(t), a=v'(t) อัตราเร็ว =|v| เร็วขึ้นเมื่อ v กับ a เครื่องหมายเดียวกัน ช้าลงเมื่อต่างกัน
• f'>0 ฟังก์ชันเพิ่ม f'<0 ฟังก์ชันลด ค่าสุดขีดสัมพัทธ์เกิดเมื่อ f' เปลี่ยนเครื่องหมาย (f'(c)=0 อย่างเดียวไม่พอ เช่น x³)
• ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนช่วงปิด: เทียบค่าที่จุดวิกฤตและจุดปลายช่วง
• จุดเปลี่ยนเว้า: f'' เปลี่ยนเครื่องหมาย; การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: ถ้า f'(c)=0 และ f''(c)<0 ได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์, f''(c)>0 ได้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
• อ่านกราฟ f': เหนือ/ใต้แกน x บอกเพิ่ม/ลดของ f, จุดยอดของกราฟ f' คือจุดเปลี่ยนเว้าของ f
• พหุนามกำลังสามเพิ่มบน ℝ เมื่อดิสคริมิแนนต์ของ f' ≤0 (สัมประสิทธิ์นำบวก)
• โจทย์ค่าสูงสุด/ต่ำสุด: สร้างฟังก์ชันตัวแปรเดียว ระบุโดเมน หาจุดวิกฤต ตรวจจุดปลาย; กำไร = รายได้ − ต้นทุน
• อัตราสัมพัทธ์: เขียนความสัมพันธ์ (ใช้สามเหลี่ยมคล้ายลดตัวแปร) หาอนุพันธ์เทียบ t แล้วจึงแทนค่า

5. ปริพันธ์

• ∫xⁿdx=(xⁿ⁺¹)/(n+1)+C (n≠−1), ∫¹⁄ₓdx=ln |x|+C, ∫eˣdx=eˣ+C, ∫sin x dx=−cos x+C, ∫cos x dx=sin x+C
• ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต้องมี +C คำตอบที่ต่างกันเพียงค่าคงตัวถูกทั้งคู่ หาฟังก์ชันจากความชันต้องใช้เงื่อนไขหาค่าคงตัวทุกตัว
• ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a), ∫_bᵃf=−∫ₐᵇf, ∫ₐᵇk dx=k(b−a)
• ทฤษฎีบทหลักมูล: d/(dx)∫ₐ^(u(x))f(t) dt=f(u(x)) u'(x)
• เปลี่ยนตัวแปร u=g(x), du=g'(x)dx และเปลี่ยนขอบเขตตาม u
• ผลรวมรีมันน์ Σf(xᵢ)Δx, Δx=ᵇ⁻ᵃ⁄ₙ, xᵢ=a+iΔx ลิมิตเมื่อ n→∞ คือ ∫ₐᵇf(x)dx
• พื้นที่ =∫|f(x)|dx (แยกช่วงที่จุดตัดแกน x) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง =∫ₐᵇ(fᵤₚₚₑᵣ−f_lower)dx
• การกระจัด =∫v dt ระยะทาง =∫|v| dt

เทคนิคทำข้อสอบ / จุดที่ออกบ่อยและกับดักที่พบบ่อย

• ตรวจคำตอบลิมิตด้วยการแทนค่าใกล้ ๆ (x=2.001 หรือ x=10⁶) ในเครื่องคิดเลข
• กับดักยอดนิยม: (uv)'=u'v', ลืมคูณอนุพันธ์ชั้นในของกฎลูกโซ่, ลืม +C, สับสน f'(c)=0 กับค่าสุดขีด, ปริพันธ์ส่วนใต้แกน x หักล้างจนพื้นที่เป็นศูนย์
• โจทย์ข้อความ ก/ข/ค ให้หาตัวอย่างค้านสั้น ๆ เช่น x³, |x|, ¹⁄ₓ
• โจทย์ประยุกต์ อย่าลืมโดเมนทางกายภาพ (ความยาวต้องเป็นบวก) และหน่วยของคำตอบ